Un défi par semaine

Juillet 2016, 5e défi

El 29 julio 2016  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 31 :

Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des entiers positifs tels que $a>b>c>d$ et

$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)=10.$

Trouver toutes les valeurs possibles de $a+b-c-d$.

Solution du 4e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $p=7$, $q=5$ et $r=2$.

Comme $p$ et $q$ ne peuvent pas être égaux à $2$ (premier nombre premier et seul nombre premier pair), ils sont donc impairs. Le nombre $p-q$ est donc pair et premier, c’est-à-dire égal à $2$. Nous avons ainsi $p=q+2$. Les nombres $p-r=q-r+2$ et $q-r$ sont premiers et diffèrent de $2$. Ils ont donc la même parité, qui ne peut être qu’impaire. Comme $q$ et $q-r$ sont impairs, $r$ doit être pair, d’où $r=2$.

Les nombres $q+2=p>q>q-2=q-r$ sont premiers. Comme $q-2$ est un nombre premier impair, il doit avoir une valeur au moins égale à 3. Et nous savons que dans l’ensemble des trois nombres $q-2$, $q$ et $q+2$, l’un d’entre eux sera divisible par $3$. Pour qu’un nombre soit divisible par $3$ et qu’il soit premier, sa valeur est nécessairement $3$. Nous avons donc $q-2=3$, c’est-à-dire $q=5$ et $p=7$.

Nous obtenons donc $r=2$, $q=5$ et $p=7$. Ces nombres répondent bien aux conditions du problème puisque $p-r=5$, $p-q=2$ et $q-r=3$ et que chacun de ces nombres est premier.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juillet 2016, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Comentario sobre el artículo

  • Juillet 2016, 5e défi

    le 29 de julio de 2016 à 10:41, par Bernard Hanquez

    Bonjour,

    Je pense que le problème n’a pas de solutions pour les raisons suivantes :

    a, b, c et d sont quatre entiers positifs différents les uns des autres

    Donc (1-a), (1-b), (1-c) et (1-d) sont quatre entiers négatifs tous différents les uns des autres dont le produit doit être égal à 10

    Or les facteurs premiers de 10 sont 2 et 5
    Donc le produit de ces quatre entiers négatifs ne peut s’écrire que -2 x -5 x -1 x -1 ce qui implique que deux des entiers sont égaux, ce qui est contraire à l’énoncé du problème.

    Donc le problème n’admet pas de solutions.

    Grave question, ai-je bon ou ai-je loupé quelque chose ?

    Répondre à ce message
    • Juillet 2016, 5e défi

      le 29 de julio de 2016 à 12:11, par Al_louarn

    • Juillet 2016, 5e défi

      le 29 de julio de 2016 à 14:32, par Blaxapate

      Les nombres $(1-a)$...$(1-d)$ ne sont pas forcément négatifs, car si $d = 0$ alors $(1-d) = 1$.

      Cependant, même avec cette considération, le problème n’admet pas de solution tel quel. Si l’on choisit d’ignorer la consigne et de choisir a,b,c et d entiers relatifs, alors on trouve $a + b - c - d = 9$, avec d toujours strictement négatif. Si l’on choisit de choisir -10 comme résultat plutôt que 10, mais en gardant la positivité des paramètres, on obtient $a + b - c - d = 7$. Si l’on prend $a \geq b \geq c \geq d$, toujours en gardant les autres conditions, on trouve $a + b - c - d = 13, 9, 7$ ou $5$...

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    • Juillet 2016, 5e défi

      le 29 de julio de 2016 à 15:29, par Daniate

      Pour être plus précis d peut être 0 et alors 1-d = 1 mais alors les 3 autres sont négatifs et le produit est aussi négatif. Si maintenant on accepte les entiers négatifs il existe deux possibilités 5,1,-1,-2 et 2,1,-1,5 qui donnent toutes deux 9 pour solution. Y-a-t-il une méthode logique pour que ce résultat soit démontré sans dénombrement ?

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      • Juillet 2016, 5e défi

        le 29 de julio de 2016 à 15:31, par Daniate

        naturellement deuxième solution 2,1,-1,-5

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      • Juillet 2016, 5e défi

        le 8 de agosto de 2016 à 10:02, par Rémy

        Sauf erreur de ma part aucune des lettres ne peut prendre pour valeur 1, car il y aurait alors un 0 dans l’opération et le résultat ne pourrait pas être 10.

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        • Juillet 2016, 5e défi

          le 9 de agosto de 2016 à 10:29, par Daniate

          Bonjour, vous avez parfaitement raison. Je m’aperçois que j’ai donné les valeurs de 1-a, 1-b, ... . Les solutions en a,b,c et d sont 3 2 0 -4 et 6 2 0 -1. Merci pour votre relecture.

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        • Juillet 2016, 5e défi

          le 9 de agosto de 2016 à 10:34, par Al_louarn

          Ce que Daniate nous dit c’est que $1-b=1$, pas que $b=1$.

          Répondre à ce message

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