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Un défi par semaine

Juillet 2016, 5e défi

Le 29 juillet 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 31 :

Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des entiers positifs tels que $a>b>c>d$ et

$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)=10.$

Trouver toutes les valeurs possibles de $a+b-c-d$.

Solution du 4e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $p=7$, $q=5$ et $r=2$.

Comme $p$ et $q$ ne peuvent pas être égaux à $2$ (premier nombre premier et seul nombre premier pair), ils sont donc impairs. Le nombre $p-q$ est donc pair et premier, c’est-à-dire égal à $2$. Nous avons ainsi $p=q+2$. Les nombres $p-r=q-r+2$ et $q-r$ sont premiers et diffèrent de $2$. Ils ont donc la même parité, qui ne peut être qu’impaire. Comme $q$ et $q-r$ sont impairs, $r$ doit être pair, d’où $r=2$.

Les nombres $q+2=p>q>q-2=q-r$ sont premiers. Comme $q-2$ est un nombre premier impair, il doit avoir une valeur au moins égale à 3. Et nous savons que dans l’ensemble des trois nombres $q-2$, $q$ et $q+2$, l’un d’entre eux sera divisible par $3$. Pour qu’un nombre soit divisible par $3$ et qu’il soit premier, sa valeur est nécessairement $3$. Nous avons donc $q-2=3$, c’est-à-dire $q=5$ et $p=7$.

Nous obtenons donc $r=2$, $q=5$ et $p=7$. Ces nombres répondent bien aux conditions du problème puisque $p-r=5$, $p-q=2$ et $q-r=3$ et que chacun de ces nombres est premier.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Juillet 2016, 5e défi

le 29 juillet 2016 à 10:41, par Bernard Hanquez

Bonjour,

Je pense que le problème n’a pas de solutions pour les raisons suivantes :

a, b, c et d sont quatre entiers positifs différents les uns des autres

Donc (1-a), (1-b), (1-c) et (1-d) sont quatre entiers négatifs tous différents les uns des autres dont le produit doit être égal à 10

Or les facteurs premiers de 10 sont 2 et 5
Donc le produit de ces quatre entiers négatifs ne peut s’écrire que -2 x -5 x -1 x -1 ce qui implique que deux des entiers sont égaux, ce qui est contraire à l’énoncé du problème.

Donc le problème n’admet pas de solutions.

Grave question, ai-je bon ou ai-je loupé quelque chose ?
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Juillet 2016, 5e défi

le 29 juillet 2016 à 12:11, par Al_louarn

Pas mieux :)
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Juillet 2016, 5e défi

le 29 juillet 2016 à 14:32, par Blaxapate

Les nombres $(1-a)$...$(1-d)$ ne sont pas forcément négatifs, car si $d = 0$ alors $(1-d) = 1$.

Cependant, même avec cette considération, le problème n’admet pas de solution tel quel. Si l’on choisit d’ignorer la consigne et de choisir a,b,c et d entiers relatifs, alors on trouve $a + b - c - d = 9$, avec d toujours strictement négatif. Si l’on choisit de choisir -10 comme résultat plutôt que 10, mais en gardant la positivité des paramètres, on obtient $a + b - c - d = 7$. Si l’on prend $a \geq b \geq c \geq d$, toujours en gardant les autres conditions, on trouve $a + b - c - d = 13, 9, 7$ ou $5$...
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Juillet 2016, 5e défi

le 29 juillet 2016 à 15:29, par Daniate

Pour être plus précis d peut être 0 et alors 1-d = 1 mais alors les 3 autres sont négatifs et le produit est aussi négatif. Si maintenant on accepte les entiers négatifs il existe deux possibilités 5,1,-1,-2 et 2,1,-1,5 qui donnent toutes deux 9 pour solution. Y-a-t-il une méthode logique pour que ce résultat soit démontré sans dénombrement ?
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Juillet 2016, 5e défi

le 29 juillet 2016 à 15:31, par Daniate

naturellement deuxième solution 2,1,-1,-5
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Juillet 2016, 5e défi

le 8 août 2016 à 10:02, par Rémy

Sauf erreur de ma part aucune des lettres ne peut prendre pour valeur 1, car il y aurait alors un 0 dans l’opération et le résultat ne pourrait pas être 10.
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Juillet 2016, 5e défi

le 9 août 2016 à 10:29, par Daniate

Bonjour, vous avez parfaitement raison. Je m’aperçois que j’ai donné les valeurs de 1-a, 1-b, ... . Les solutions en a,b,c et d sont 3 2 0 -4 et 6 2 0 -1. Merci pour votre relecture.
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Juillet 2016, 5e défi

le 9 août 2016 à 10:34, par Al_louarn

Ce que Daniate nous dit c’est que $1-b=1$, pas que $b=1$.
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Juillet 2016, 5e défi

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