Un défi par semaine

Juillet 2016, 5e défi

Le 29 juillet 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 31 :

Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des entiers positifs tels que $a>b>c>d$ et

$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)=10.$

Trouver toutes les valeurs possibles de $a+b-c-d$.

Solution du 4e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $p=7$, $q=5$ et $r=2$.

Comme $p$ et $q$ ne peuvent pas être égaux à $2$ (premier nombre premier et seul nombre premier pair), ils sont donc impairs. Le nombre $p-q$ est donc pair et premier, c’est-à-dire égal à $2$. Nous avons ainsi $p=q+2$. Les nombres $p-r=q-r+2$ et $q-r$ sont premiers et diffèrent de $2$. Ils ont donc la même parité, qui ne peut être qu’impaire. Comme $q$ et $q-r$ sont impairs, $r$ doit être pair, d’où $r=2$.

Les nombres $q+2=p>q>q-2=q-r$ sont premiers. Comme $q-2$ est un nombre premier impair, il doit avoir une valeur au moins égale à 3. Et nous savons que dans l’ensemble des trois nombres $q-2$, $q$ et $q+2$, l’un d’entre eux sera divisible par $3$. Pour qu’un nombre soit divisible par $3$ et qu’il soit premier, sa valeur est nécessairement $3$. Nous avons donc $q-2=3$, c’est-à-dire $q=5$ et $p=7$.

Nous obtenons donc $r=2$, $q=5$ et $p=7$. Ces nombres répondent bien aux conditions du problème puisque $p-r=5$, $p-q=2$ et $q-r=3$ et que chacun de ces nombres est premier.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2016, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Juillet 2016, 5e défi

    le 9 août 2016 à 10:29, par Daniate

    Bonjour, vous avez parfaitement raison. Je m’aperçois que j’ai donné les valeurs de 1-a, 1-b, ... . Les solutions en a,b,c et d sont 3 2 0 -4 et 6 2 0 -1. Merci pour votre relecture.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?