Un défi par semaine

Juillet 2017, 1er défi

Le 7 juillet 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 27 :

Un train longe Alex et Anne. Ceux-ci se mettent à marcher (à la même vitesse) au moment où le train arrive à leur hauteur et s’arrêtent quand la fin du dernier wagon passe à leur hauteur. Si, dans cet intervalle, Alex a marché $45$ m et Anne $30$ m, et le train voyage à vitesse constante, quelle est la longueur du train ?

Solution du 5e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $3$.

Notons $F$ la projection de $E$ sur le segment $[AB]$, c’est-à-dire $[EF]$ est perpendiculaire à $[AB]$.

PNG - 45.7 ko

Alors comme les triangles $CDE$ et $CDF$ ont la base $[CD]$ en commun et, comme $CD$ est parallèle à $FE$, ils ont même hauteur, ils ont donc même aire.

Ensuite, par symétrie, on a $BF=2\times AF$, et donc on a $AF=FC=CB$. Par conséquent l’aire de $CDA$ est le double de l’aire de $CDF$ et l’aire de $CDB$ est égale à l’aire de $CDF$. Par conséquent, on a

$\mathrm{Aire}(ABD) = \mathrm{Aire}(CDA)+\mathrm{Aire}(CDB)$

$ = 2\times \mathrm{Aire}(CDF)+\mathrm{Aire}(CDF)$

$= 3\times \mathrm{Aire}(CDF)=3\times \mathrm{Aire}(CDE).$

Et donc le rapport $\dfrac{\mathrm{Aire}(ABD)}{\mathrm{Aire}(CDE)}$ vaut $3$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - BRIGITTE MERZ/LOOK/PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2017, 1er défi

    le 7 juillet à 08:44, par Al_louarn

    Alex parcourt $45$m pendant le temps $a$, et Anne parcourt $30$m pendant le temps $b$. Mais ils marchent à la même vitesse donc $\frac{45}{a}=\frac{30}{b}$, ce qui nous donne une première équation : $\frac{3}{2a}=\frac{1}{b}$.

    D’autre part Alex a parcouru une plus grande distance qu’Anne, donc il avance dans le même sens que le train alors qu’Anne marche dans le sens opposé.
    Si $x$ est la longueur du train, alors pendant le temps $a$, il parcourt la distance $45 + x$, donc sa vitesse est $\frac{45+x}{a}$.
    Mais pendant le temps $b$ il parcourt la distance $x-30$ donc sa vitesse est $\frac{x-30}{b}$.
    D’où la seconde équation : $\frac{45+x}{a} = \frac{x-30}{b}$.

    En remplaçant $\frac{1}{b}$ par $\frac{3}{2a}$ dans la seconde équation on obtient $\frac{45+x}{a} = \frac{3(x-30)}{2a}$, qui se simplifie en $2(45+x)=3(x-30)$, et donne finalement $x=180$ mètres.

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  • Juillet 2017, 1er défi

    le 7 juillet à 09:31, par drai.david

    Soit t le temps de parcours d’Anne. Le temps de parcours d’Alex est donc de 3t/2.
    Soit x la longueur du train.
    Le train a parcouru (x-30) mètres en t secondes, et (x 45) mètres en 3t/2 secondes.
    Comme le train a une vitesse constante, il y a proportionnalité entre les distances parcourues et les temps de parcours. D’où, par égalité des produits en croix :
    (x-30).3t/2 = (x 45)t.
    On simplifie par t et on trouve x = 180.

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  • Juillet 2017, 1er défi

    le 7 juillet à 09:48, par drai.david

    Étrangement, mes signes « plus » (+) n’apparaissent pas dans mon message précédent, alors qu’ils apparaissent dans la prévisualisation...
    Et de toute façon, comme je ne sais pas comment écrire des équations, ma présentation est très moche.
    Si quelqu’un pouvait me donner quelques conseils, ce serait avec grand plaisir !
    Je retente donc un envoi, sans garantie de plus de succès...

    Soit t le temps de parcours d’Anne. Le temps de parcours d’Alex est donc de 3t/2.
    Soit x la longueur du train.
    Le train a parcouru (x-30) mètres en t secondes, et (x +45) mètres en 3t/2 secondes.
    Comme le train a une vitesse constante, il y a proportionnalité entre les distances parcourues et les temps de parcours. D’où, par égalité des produits en croix :
    (x-30).3t/2 = (x +45)t.
    On simplifie par t et on trouve x = 180.

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  • Juillet 2017, 1er défi

    le 7 juillet à 11:11, par drai.david

    Dernière version, après apprentissage !

    Soit $t$ le temps de parcours d’Anne. Le temps de parcours d’Alex est donc de $\frac{3t}{2}$.
    Soit $x$ la longueur du train.
    Le train a parcouru $(x-30)$ mètres en $t$ secondes, et $(x+45)$ mètres en $\frac{3t}{2}$ secondes.
    Comme le train a une vitesse constante, il y a proportionnalité entre les distances parcourues et les temps de parcours.
    D’où, par égalité des produits en croix :
    $(x-30)\frac{3t}{2}=(x +45)t \Leftrightarrow x=180$.

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  • Juillet 2017, 1er défi

    le 7 juillet à 15:18, par Daniate

    Une vision plus physique qui plaira sans doute à certain. Soit V la vitesse du train et v la vitesse des coureurs. Un individu du train ( observateur) verra s’éloigner Alex à la vitesse V-v et Anne à la vitesse V+v. On a donc V/L=45/(V-v)=30/ (V+v). Ce qui donne V=5v.
    L’observateur devient Alex : il voit s’éloigner le le train à la vitesse 4v c’est à dire 4 fois plus vite. Quand il fait 45 m le train en fait 4x45=180 m ce qui est sa longueur. Le calcul avec Anne donne le même résultat avec 6v soit 6x30=180 m

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    • Juillet 2017, 1er défi

      le 8 juillet à 12:49, par ROUX

      Un certain croit avoir reconnu les trains et les observateur-trice-s si chers et chères à un CERTAIN (je voulais évidemment mettre une majuscule pour ce certain-là, et puis, non, c’est un tel certain que tout le mot doit être en majuscule) Albert.
      Merci ;-) !!!

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  • Tout faux avec mes excuses

    le 7 juillet à 18:50, par Daniate

    On prend d’abord Alex immobile, le train s’éloigne à V-v et on obtient L/(V-v)=45/v
    et donc Lv=45(V-v).
    Avec Anne on obtient Lv=30(V+v). En égalisant on obtient bien V=5v ... etc ...

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