Un défi par semaine

Juillet 2017, 3e défi

Le 21 juillet 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 29 :

Une vache est à $5$ m de la moitié d’un tunnel. Un train se dirige vers ce tunnel à une vitesse constante. La vache entend le train lorsque celui-ci se situe à $3$ km du tunnel. Quelle que soit sa direction, la vache arrive au bout du tunnel au même moment que le train. Quelle est la longueur du tunnel ?

Solution du 2e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $220$ triplets.

Si $a=1$ et $c=10$, alors $1\leq b\leq 10$ et nous avons $10$ triplets. Puisque $c$ a 10 valeurs possibles, si $c=n$ alors $1\leq b\leq n$ et $b$ a $n$ valeurs possibles. Autrement dit, pour chaque $n$ nous avons $n$ triplets. Donc, si $a=1$ nous avons $10+9+8+\cdots + 1=55$ triplets.

De manière analogue, nous avons :

  • Si $a=2$, le nombre de triplets est $55-10=45$.
  • Si $a=3$, le nombre de triplets est $45-9=36$.
  • Si $a=4$, le nombre de triplets est $36-8=28$.
  • Si $a=5$, le nombre de triplets est $28-7=21$.
  • Si $a=6$, le nombre de triplets est $21-6=15$.
  • Si $a=7$, le nombre de triplets est $15-5=10$.
  • Si $a=8$, le nombre de triplets est $10-4=6$.
  • Si $a=9$, le nombre de triplets est $6-3=3$.
  • Si $a=10$, le nombre de triplets est $3-2=1$.
    Au total, il existe donc
    \[55+45+36+28+21+15+10+6+3+1=220 \,\, \gage{ $n$ trip}]]
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - BRIGITTE MERZ/LOOK/PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2017, 3e défi

    le 21 juillet à 11:22, par drai.david

    La vache se trouve nécessairement du même côté du train par rapport au milieu du tunnel.
    Soient $x$ la distance de la vache au milieu du tunnel, $y$ la distance du train à l’entrée du tunnel, et $L$ la longueur du tunnel.

    • Si la vache va vers le train, au moment où ils se rejoignent, le train a parcouru $y$ et la vache $\frac{L}{2}-x$.
    • Si la vache va dans la même direction que le train, au moment où ils se rejoignent, le train a parcouru $y+L$ et la vache $\frac{L}{2}+x$.

    Par proportionnalité des distances parcourues, on obtient : $\frac{y}{y+L}=\frac{\frac{L}{2}-x}{\frac{L}{2}+x}$.

    Par égalité des produits en croix, et après simplification, il vient l’équation du 2nd degré suivante : $L^2-2xL-4xy=0$.

    Finalement, on obtient : $L=x \left [1+\sqrt{1+4\frac{y}{x}} \right ]$.

    A.N. Avec $x=5$ et $y=3 000$, on trouve $L=250$ mètres.

    Répondre à ce message
  • Juillet 2017, 3e défi

    le 21 juillet à 11:36, par drai.david

    Oups !
    « ...du même côté que le train par rapport au milieu du tunnel. » !!!

    Répondre à ce message

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