Juillet 2017, 3e défi

Le 21 juillet 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 29 :

Une vache est à $5$ m de la moitié d’un tunnel. Un train se dirige vers ce tunnel à une vitesse constante. La vache entend le train lorsque celui-ci se situe à $3$ km du tunnel. Quelle que soit sa direction, la vache arrive au bout du tunnel au même moment que le train. Quelle est la longueur du tunnel ?

Solution du 2e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $220$ triplets.

Si $a=1$ et $c=10$, alors $1\leq b\leq 10$ et nous avons $10$ triplets. Puisque $c$ a 10 valeurs possibles, si $c=n$ alors $1\leq b\leq n$ et $b$ a $n$ valeurs possibles. Autrement dit, pour chaque $n$ nous avons $n$ triplets. Donc, si $a=1$ nous avons $10+9+8+\cdots + 1=55$ triplets.

De manière analogue, nous avons :

Si $a=2$, le nombre de triplets est $55-10=45$.
Si $a=3$, le nombre de triplets est $45-9=36$.
Si $a=4$, le nombre de triplets est $36-8=28$.
Si $a=5$, le nombre de triplets est $28-7=21$.
Si $a=6$, le nombre de triplets est $21-6=15$.
Si $a=7$, le nombre de triplets est $15-5=10$.
Si $a=8$, le nombre de triplets est $10-4=6$.
Si $a=9$, le nombre de triplets est $6-3=3$.
Si $a=10$, le nombre de triplets est $3-2=1$.
Au total, il existe donc
\[55+45+36+28+21+15+10+6+3+1=220 \,\, \text{triplets.}\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Juillet 2017, 3e défi

le 21 juillet 2017 à 11:22, par drai.david
La vache se trouve nécessairement du même côté du train par rapport au milieu du tunnel.
Soient $x$ la distance de la vache au milieu du tunnel, $y$ la distance du train à l’entrée du tunnel, et $L$ la longueur du tunnel.
- Si la vache va vers le train, au moment où ils se rejoignent, le train a parcouru $y$ et la vache $\frac{L}{2}-x$.
- Si la vache va dans la même direction que le train, au moment où ils se rejoignent, le train a parcouru $y+L$ et la vache $\frac{L}{2}+x$.
Par proportionnalité des distances parcourues, on obtient : $\frac{y}{y+L}=\frac{\frac{L}{2}-x}{\frac{L}{2}+x}$.

Par égalité des produits en croix, et après simplification, il vient l’équation du 2^nd degré suivante : $L^2-2xL-4xy=0$.

Finalement, on obtient : $L=x \left [1+\sqrt{1+4\frac{y}{x}} \right ]$.

A.N. Avec $x=5$ et $y=3 000$, on trouve $L=250$ mètres.
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Juillet 2017, 3e défi

le 21 juillet 2017 à 11:36, par drai.david

Oups !
« ...du même côté que le train par rapport au milieu du tunnel. » !!!
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Juillet 2017, 3e défi

le 28 mai 2018 à 20:23, par mick91

Bonjour a tous !
Pas du tout d’accord avec une partie de la réponse : La position de la vache n’a aucune importance , il me semble.
Seul le sens de déplacement de la vache est important
.Que la vache soit entre le train et la moitié du tunnel et les 2 se déplaçant dans le même sens, où que la vache soit de l’autre coté de la moitié du tunnel par rapport au train et se déplace vers le train (donc sens opposé du train), la distance parcourue par la vache est (L+x) /2.
Dans les 2 autres cas :
Vache et train du même coté de la moitié du tunnel, où vache et train de part et d’autre de la moitié du tunnel, que la vache aille vers le train ou dans le même sens que lui la distance parcourue par la vache est (L-x) /2.
Cordialement
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