Un défi par semaine

Juillet 2017, 3e défi

Le 21 juillet 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 29 :

Une vache est à $5$ m de la moitié d’un tunnel. Un train se dirige vers ce tunnel à une vitesse constante. La vache entend le train lorsque celui-ci se situe à $3$ km du tunnel. Quelle que soit sa direction, la vache arrive au bout du tunnel au même moment que le train. Quelle est la longueur du tunnel ?

Solution du 2e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $220$ triplets.

Si $a=1$ et $c=10$, alors $1\leq b\leq 10$ et nous avons $10$ triplets. Puisque $c$ a 10 valeurs possibles, si $c=n$ alors $1\leq b\leq n$ et $b$ a $n$ valeurs possibles. Autrement dit, pour chaque $n$ nous avons $n$ triplets. Donc, si $a=1$ nous avons $10+9+8+\cdots + 1=55$ triplets.

De manière analogue, nous avons :

  • Si $a=2$, le nombre de triplets est $55-10=45$.
  • Si $a=3$, le nombre de triplets est $45-9=36$.
  • Si $a=4$, le nombre de triplets est $36-8=28$.
  • Si $a=5$, le nombre de triplets est $28-7=21$.
  • Si $a=6$, le nombre de triplets est $21-6=15$.
  • Si $a=7$, le nombre de triplets est $15-5=10$.
  • Si $a=8$, le nombre de triplets est $10-4=6$.
  • Si $a=9$, le nombre de triplets est $6-3=3$.
  • Si $a=10$, le nombre de triplets est $3-2=1$.
    Au total, il existe donc
    \[55+45+36+28+21+15+10+6+3+1=220 \,\, \text{triplets.}\]
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - BRIGITTE MERZ/LOOK/PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2017, 3e défi

    le 21 juillet 2017 à 11:36, par drai.david

    Oups !
    « ...du même côté que le train par rapport au milieu du tunnel. » !!!

    Répondre à ce message

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