Enoncé

La réponse est $250\,\mathrm{m}$.

Appelons $v$ la vitesse à laquelle marche la vache et $V$ la vitesse du train, exprimées en mètres par minute. La vache ne peut se trouver que dans la moitié proche de l’entrée du tunnel, c’est-à-dire l’extrémité du tunnel où le train entrera. Si elle se trouvait dans l’autre moitié, il est impossible qu’elle se retrouve au même moment que le train au bout du tunnel quelle que soit la direction prise pour sortir du tunnel.

Si nous appelons $2l$ la longueur du tunnel, le temps que mettra la vache à arriver à l’entrée du tunnel est de $\frac{l-5}{v}$ minutes, alors que le train mettra, lui, $\frac{3000}{V}$ minutes. Nous avons donc : $\frac{l-5}{v}=\frac{3000}{V}$. De la même manière nous avons $\frac{l+5}{v}=\frac{3000+2l}{V}$. En divisant la première égalité par la seconde nous obtenons :

$\frac{l-5}{l+5} = \frac{3000}{3000+2l}$

$3000l+2l^2-15\,000-10l = 3000l+15\,000$

$2l^2-10l = 30\,000$

$l(l-5) = 15\,000$

$l = 125.$

Ainsi, la longueur du tunnel est de $2l=250\,\mathrm{m}$.