Un défi par semaine

Juillet 2017, 4e défi

Le 28 juillet 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 30 :

Nous plions les coins du rectangle de la figure de façon à faire toucher les deux sommets inférieurs. Combien mesure $x$ ?

PNG - 28.5 ko

Solution du 3e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est $250\,\mathrm{m}$.

Appelons $v$ la vitesse à laquelle marche la vache et $V$ la vitesse du train, exprimées en mètres par minute. La vache ne peut se trouver que dans la moitié proche de l’entrée du tunnel, c’est-à-dire l’extrémité du tunnel où le train entrera. Si elle se trouvait dans l’autre moitié, il est impossible qu’elle se retrouve au même moment que le train au bout du tunnel quelle que soit la direction prise pour sortir du tunnel.

Si nous appelons $2l$ la longueur du tunnel, le temps que mettra la vache à arriver à l’entrée du tunnel est de $\frac{l-5}{v}$ minutes, alors que le train mettra, lui, $\frac{3000}{V}$ minutes. Nous avons donc : $\frac{l-5}{v}=\frac{3000}{V}$. De la même manière nous avons $\frac{l+5}{v}=\frac{3000+2l}{V}$. En divisant la première égalité par la seconde nous obtenons :

$\frac{l-5}{l+5} = \frac{3000}{3000+2l}$

$3000l+2l^2-15\,000-10l = 3000l+15\,000$

$2l^2-10l = 30\,000$

$l(l-5) = 15\,000$

$l = 125.$

Ainsi, la longueur du tunnel est de $2l=250\,\mathrm{m}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - BRIGITTE MERZ/LOOK/PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2017, 4e défi

    le 30 juillet 2017 à 09:46, par drai.david

    Non, l’angle principal est obtus et vaut $\arccos\left ( \frac{-1}{9} \right ) \approx 96°$.
    Si cela peut t’aider...

    Répondre à ce message

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