Un défi par semaine

Juillet 2018, 1er défi

El 6 julio 2018  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 27

De combien de manières différentes peut-on placer les chiffres $1$, $2$, $4$, $7$ et $9$ pour former un nombre de cinq chiffres qui soit multiple de $11$?

Solution du 5e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est : $\dfrac{4}{9}\, cm^2$.
Appelons $R$ et $r$ les rayons du grand cercle et du petit cercle, respectivement. Observons que le petit cercle est inscrit
dans un triangle équilatéral, et que la
médiane $PS$ est également la bissectrice de l’angle de $60^\circ$, et mesure deux fois la longueur du rayon $R$ puisque $PS$ est diamètre du grand cercle.

Rappelons que le point d’intersection des médianes dans n’importe quel triangle
se trouve à un tiers de la base, mais dans le cas d’un triangle équilatéral,
ce point coïncide de plus avec le
centre du cercle inscrit au triangle, c’est-à-dire, avec $I$. Ainsi on trouve
$\frac{IS}{PS}=\frac{1}{3}$, ce qui veut dire qu’on a $\frac{IS}{PS}=\frac{r}{2R}=\frac{1}{3}$.
Par conséquent, on a $r=\frac{2R}{3}$ et l’aire du petit cercle est
\[ \pi r^2=\pi\left (\frac{2R}{3}\right )^2=\frac{4}{9}\pi R^2, \]
donc $\frac{4}{9}\, cm^2$, puisque $\pi R^2=1\,cm^2$.

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juillet 2018, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Comentario sobre el artículo

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  • Juillet 2018, 1er défi

    le 8 de julio de 2018 à 11:07, par Goubert

    En utilisant une méthode un peu brutale (Tableur EXCEL) et en éliminant les plages non valides (par exemple entre 15000 et 16000), je trouve 245 permutations répondant au critère.

    Répondre à ce message

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