Un défi par semaine

Juillet 2018, 1er défi

El 6 julio 2018  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 27

De combien de manières différentes peut-on placer les chiffres $1$, $2$, $4$, $7$ et $9$ pour former un nombre de cinq chiffres qui soit multiple de $11$?

Solution du 5e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est : $\dfrac{4}{9}\, cm^2$.
Appelons $R$ et $r$ les rayons du grand cercle et du petit cercle, respectivement. Observons que le petit cercle est inscrit
dans un triangle équilatéral, et que la
médiane $PS$ est également la bissectrice de l’angle de $60^\circ$, et mesure deux fois la longueur du rayon $R$ puisque $PS$ est diamètre du grand cercle.

Rappelons que le point d’intersection des médianes dans n’importe quel triangle
se trouve à un tiers de la base, mais dans le cas d’un triangle équilatéral,
ce point coïncide de plus avec le
centre du cercle inscrit au triangle, c’est-à-dire, avec $I$. Ainsi on trouve
$\frac{IS}{PS}=\frac{1}{3}$, ce qui veut dire qu’on a $\frac{IS}{PS}=\frac{r}{2R}=\frac{1}{3}$.
Par conséquent, on a $r=\frac{2R}{3}$ et l’aire du petit cercle est
\[ \pi r^2=\pi\left (\frac{2R}{3}\right )^2=\frac{4}{9}\pi R^2, \]
donc $\frac{4}{9}\, cm^2$, puisque $\pi R^2=1\,cm^2$.

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juillet 2018, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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  • Juillet 2018, 1er défi

    le 12 de julio de 2018 à 18:08, par ROUX

    Nous discutions implicite/explicite avec ma femme et j’ai évoqué votre contribution.
    Une condition suffisante pour entendre l’implicite est de (re)connaitre le cadre.
    Ici, le cadre, ce sont les mathématiques à la gomme et au crayon.
    Il est vrai que j’ai entendu l’implicite «chaque chiffre doit apparaître une fois et une seule» parce que, dans le cadre des «mathématique à la gomme et au crayon», j’ai conjecturé qu’il serait impossible de répondre à la question sans buriner (vérifier un par un des tas d’assemblages de chiffres) si on n’entendait pas cet implicite.
    Pourquoi sais-je que j’ai fait des mathématiques: eh bien parce que, sous cet implicite, j’ai pu répondre à la question SANS buriner les douze solutions ce qui ne peut pas être le cas si on n’entend pas cet implicite.
    Alors, avec ma femme, comment ai-je évoqué votre contribution? En supposant que vous aviez évidemment parfaitement entendu l’implicite mais que vous vous autorisiez une pirouette ;-).
    Oui, n’est-ce pas?

    Répondre à ce message

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