Un défi par semaine

Juillet 2018, 2e défi

Le 13 juillet 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 28

Si on écrit les trois derniers chiffres de $2003$ à l’envers, on obtient $300$. En mai $2003$ l’université de Saint-Pétersbourg a fêté ses $300$ ans. Combien d’années du XXI$^e$ siècle, en comptant $2003$, ont cette propriété ?

Solution du 1er défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est : 12 manières.

Appelons $x$ la somme des chiffres qui sont dans les positions impaires du nombre à cinq chiffres, et $y$ la somme des chiffres dans les positions paires. Observons que pour que le nombre soit divisible par $11$, $x-y$ doit être égal à $-11$, $0$ ou 11, mais comme $x+y=1+2+4+7+9=23$, on obtient que $x-y=-11$ ou $x-y=11$.

Si $x-y=-11$ on a que $(x-y)-(x+y)=-2y=-34$ et $y=17$. Comme
$y$ est la somme de deux des chiffres initiaux, $y\leq 9+7=16$ ; il n’est donc pas possible d’avoir $x-y=-11$.

Si $x-y=11$ on a que $(x-y)+(x+y)=2x=34$, d’où
$x=17$. Donc, les trois nombres dans les positions impaires sont $1$,
$7$ et $9$, dans un ordre quelconque, et dans les positions paires
se trouvent le 2 et le 4. De plus, on a deux possibilités pour placer le $2$
et le $4$, et six possibilités pour placer le $1$, le $7$ et le $9$. Il y a donc $2\times 6=12$ multiples de $11$ formés avec ces chiffres.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2018, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2018, 2e défi

    le 13 juillet à 09:13, par Al_louarn

    L’université a été fondée en $1703$.
    Les années du XXIème siècle sont de la forme $2000 + 10a + b$, avec $0 \leq a \leq 9$ et $0 \leq b \leq 9$.
    Elles doivent vérifier $1703 + 100b + 10a = 2000 + 10a + b$, soit $99b=297$, donc $b=3$.
    Le choix de $a$ est libre, donc il y a $10$ solutions : $2003, 2013, ..., 2093$.

    Pour être complet, la dernière année du XXIème siècle est $2100$. Elle n’a pas la même forme que les autres mais elle n’a pas non plus la propriété recherchée.

    Répondre à ce message
    • Juillet 2018, 2e défi

      le 13 juillet à 11:03, par Poss Jean-Louis

      En toute rigueur l’année 2000 ne fait pas partie du XXIe siècle, donc $a$ et $b$ ne doivent pas être nuls simultanément.

      Après coup cette remarque est sans objet puisque $b=3$.

      Répondre à ce message

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