Un défi par semaine

Juillet 2018, 2e défi

El 13 julio 2018  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 28

Si on écrit les trois derniers chiffres de $2003$ à l’envers, on obtient $300$. En mai $2003$ l’université de Saint-Pétersbourg a fêté ses $300$ ans. Combien d’années du XXI$^e$ siècle, en comptant $2003$, ont cette propriété ?

Solution du 1er défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est : 12 manières.

Appelons $x$ la somme des chiffres qui sont dans les positions impaires du nombre à cinq chiffres, et $y$ la somme des chiffres dans les positions paires. Observons que pour que le nombre soit divisible par $11$, $x-y$ doit être égal à $-11$, $0$ ou 11, mais comme $x+y=1+2+4+7+9=23$, on obtient que $x-y=-11$ ou $x-y=11$.

Si $x-y=-11$ on a que $(x-y)-(x+y)=-2y=-34$ et $y=17$. Comme
$y$ est la somme de deux des chiffres initiaux, $y\leq 9+7=16$ ; il n’est donc pas possible d’avoir $x-y=-11$.

Si $x-y=11$ on a que $(x-y)+(x+y)=2x=34$, d’où
$x=17$. Donc, les trois nombres dans les positions impaires sont $1$,
$7$ et $9$, dans un ordre quelconque, et dans les positions paires
se trouvent le 2 et le 4. De plus, on a deux possibilités pour placer le $2$
et le $4$, et six possibilités pour placer le $1$, le $7$ et le $9$. Il y a donc $2\times 6=12$ multiples de $11$ formés avec ces chiffres.

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juillet 2018, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Comentario sobre el artículo

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  • Juillet 2018, 2e défi

    le 13 de julio de 2018 à 11:03, par Poss Jean-Louis

    En toute rigueur l’année 2000 ne fait pas partie du XXIe siècle, donc $a$ et $b$ ne doivent pas être nuls simultanément.

    Après coup cette remarque est sans objet puisque $b=3$.

    Répondre à ce message

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