Un défi par semaine

Juillet 2018, 3e défi

Le 20 juillet 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 29

On place $30$ points à l’intérieur d’un carré. On a divisé le carré en triangles qui ne se superposent pas, dont les sommets sont les $30$ points intérieurs ainsi que les $4$ sommets du carré. Si aucun triplet parmi ces $34$ points n’est formé de points colinéaires, combien de triangles y a-t-il ?

Solution du 2e défi de Juillet :

Enoncé

La réponse est : $10$ années.

Les années du XXI$^e$ siècle sont de la forme $20ab=2000+10a+b$, où $a$ et $b$ sont des chiffres. L’an $20ab$, l’université de Saint-Pétersbourg aura $300+10a+b-3$ ans, ce qui donne l’équation suivante
\[ \begin{eqnarray*} 300+10a+b-3 & = & 100b+10a\\ 297 & = & 99b\\ 3 & = & b. \end{eqnarray*} \]
De plus, $a$ peut être égal à 0, 1, 2, $\ldots$, 9. Par conséquent, il y a $10$ années du XXI$^e$ siècle qui satisfont la propriété cherchée : 2003, 2013, 2023, $\ldots$, 2093.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2018, 3e défi

    le 23 juillet 2018 à 21:38, par Niak

    Excellente approche abstraite ! Cependant ici on ne dispose pas simplement d’un graphe planaire mais également d’un de ses plongements (projection des sommets dans le plan sans croisement d’arête), ce qui permet en l’occurrence d’exploiter certaines propriétés géométriques élémentaires à la place des propriétés combinatoires (formule d’Euler) que vous utilisez.

    Autour de chacun des $30$ points intérieurs (non alignés) la somme angulaire est $2\pi$ ($360^{\circ}$). À cela s’ajoute $\frac{\pi}{2}$ ($90^{\circ}$) pour chacun des $4$ coins. D’où un total angulaire de $30 \times 2\pi + 4 \times \frac{\pi}{2} = 62\pi$. Or la somme des angles de chaque triangle vaut $\pi$ ($180^{\circ}$), il y a donc $62$ triangles.

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