Un défi par semaine

Juillet 2019, 2e défi

Le 12 juillet 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 28

Les côtés des carrés mesurent
$4$ et $6$ centimètres
respectivement,

et le sommet du grand carré est sur le centre du
petit carré.

Combien mesure l’aire colorée ?

PNG - 10.5 ko

Solution du 1er défi de juillet :

Enoncé

La solution est $16$.

Soit $n$ cet entier. Rappelons tout d’abord que tous les nombres premiers sauf $2$ sont
impairs.

De plus la somme de deux nombres impairs est paire. Ainsi, si
$n$ est impair, il s’écrit nécessairement comme la somme de $2$ et
$n-2$.

La décomposition est alors unique, donc
le nombre $n$ recherché est alors nécessairement pair.

Écrivons les premières décompositions possibles :
\[ \begin{eqnarray*} 8 & = & 5 + 3\\ 10 & = & 7 + 3\\ 12 & = & 7 + 5\\ 14 & = & 11 + 3\\ 16 & = & 13 + 3 = 11 + 5. \end{eqnarray*} \]
La valeur de $n$ est donc $16$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - ARES JONEKSON / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2019, 2e défi

    le 12 juillet 2019 à 09:19, par François

    Quitte à faire des rotations de π/4 et/ou une symétrie, on peut se placer dans le cas de figure de l’énoncé. On prend comme origine du repère O le centre du petit carré et comme axes les droites Ox et Oy parallèles aux côtés du petit carré. A et B sommets du petit carré de coordonnées respectivement (2,2) et (-2,2).N l’intersection du grand carré avec le segment [AB] et M l’autre intersection. Soit enfin θ l’angle (Ox,OM). On a θ compris entre 0 et π/4.Les coordonnées de M sont (2,2 tan(θ)) celles de N sont (2tan(θ),2).
    L’aire du triangle ONM est 2(1 + tan²(θ)) celle du triangle ANM est 2(1 - tan²(θ))..
    L’aire colorée est donc 2(1 +tan²(θ))+2(1 - tan²(θ)) = 4.
    Il est clair qu’elle ne dépend pas de la longueur des côtés du grand carré pourvu que celle-ci dépasse 4√2.

    Répondre à ce message

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