Un défi par semaine

Juillet 2019, 4e défi

Le 26 juillet 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 30

On définit le « miroir » d’un nombre entier à deux chiffres comme le nombre obtenu en permutant ses deux chiffres
(par exemple, le « miroir » de $34$ est $43$).

Combien de nombres entiers à deux chiffres sont tels que que si l’on
ajoute le nombre
à son « miroir », on obtient un nombre entier au carré ?

Solution du 3e défi de juillet :

Enoncé

La solution est 28 bonbons.

Les nombres de bonbons reçus par les enfants correspondent
aux puissances de $2$ successives. Anne souhaite alors répartir ses
bonbons de la façon suivante :

\[1+2+2^2+2^3+\cdots+2^n=\frac{2^{n+1}-1}{2-1}=2^{n+1}-1.\]

La plus petite puissance de $2$
dépassant $2019$ est $2^{11}=2048$. Par conséquent, $2047=2^{11}-1$
est le nombre minimal de bonbons qu’Anna doit posséder si elle souhaite répartir ses bonbons comme souhaité.

Il lui manque alors
$2047-2019=28$ bonbons.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - ARES JONEKSON / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2019, 4e défi

    le 26 juillet à 07:50, par François

    Soit n = a + 10 b un tel nombre, son miroir est m = 10 a + b. la somme vaut 11( a+ b). qui doit être un carré donc a + b = 11. Il y a donc 8 solutions qui sont 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92.

    Répondre à ce message

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