Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Juillet 2020, 1er défi

Le 3 juillet 2020 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 27 Manon a quatre tas qui contiennent respectivement $9$, $9$, $5$, et $1$ jetons. Un mouvement consiste à sélectionner trois des tas, leur enlever un jeton chacun et rajouter les trois jetons au tas restant. Est-il possible d’avoir quatre tas de six jetons chacun après trois mouvements ?

Solution du 4e défi de juin :

Enoncé

La réponse est : $\dfrac{2}{3}$.

Remarquons que les faces du deuxième dé ne sont numérotées
que par des nombres pairs : la somme des trois chiffres sera un
nombre pair si et seulement si la somme du premier et troisième dé
est paire. De plus, les faces du troisième dé ne sont numérotées
que par des nombres impairs : pour obtenir un nombre pair en sommant
avec le résultat du premier dé il faut et il suffit que celui-ci
soit un nombre impair. Il y a donc quatre chances sur six et la
probabilité recherchée est de $\frac{2}{3}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Juillet 2020, 1er défi

le 3 juillet 2020 à 09:03, par jokemath

RÉPONSE

Point de départ : 9 - 9 - 5 - 1
1 - ère étape : 8 - 8 - 8 - 0
2 - ième étape : 7 - 7 - 7 - 3
3 - ième étape : 6 - 6 - 6 - 6
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Juillet 2020, 1er défi

le 3 juillet 2020 à 12:04, par Celem Mene

Oui, c’est possible.

1) En ce qui concerne les piles de 9, il n’y a qu’une façon d’atteindre 6 en trois étapes, à coups de -1 et +3. C’est d’ôter 1 à chacune d’entre elles.

2) Il n’y a également qu’une façon de passer de 5 à 6. Ôter deux fois 1 et rajouter 3 une fois.

3) Une seule façon aussi de passer de 1 à 6. Ôter une fois 1 et rajouter 3 deux fois.

Ces opérations sont compatibles. On peut combiner 3 soustractions et 1 addition à chaque étape.

Aux permutations des étapes 2) et 3) près, il n’y a qu’une solution, donnée plus haut.
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Juillet 2020, 1er défi

le 3 juillet 2020 à 15:28, par CAMI

Sauf erreur il y-a 2 solutions possibles (un enfant de 10 ans peut les trouver) :
9 9 5 1 devient 8 8 8 0 puis 7 7 7 3 puis 6 6 6 6, l’autre :
9 9 5 1 devient 8 8 4 4 puis 7 7 3 7 puis 6 6 6 6
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Juillet 2020, 1er défi

le 4 juillet 2020 à 13:25, par Blaxapate

Il y en a même une troisième, elles sont toutes des permutations les unes des autres :

— Ajouter 3 jetons au quatrième tas (et les enlever dans les autres tas), à faire deux fois.
— Ajouter 3 jetons au troisième tas (et de même), à faire une fois.

Ces trois actions peuvent être faites dans l’ordre que l’on veut.
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Juillet 2020, 1er défi

le 4 juillet 2020 à 14:28, par CAMI

En effet j’avais bien fait de dire sauf erreur il y-a 2 solutions !
Les trois solutions sont :
9 9 5 1, 8 8 4 4, 7 7 7 3, 6 6 6 6
9 9 5 1, 8 8 4 4, 7 7 3 7, 6 6 6 6
9 9 5 1, 8 8 8 0, 7 7 7 3, 6 6 6 6
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Juillet 2020, 1er défi

le 10 juillet 2020 à 14:00, par Celem Mene

Je cite la solution :

« une façon de faire (et en fait la seule à permutation des mouvements près) est... »

Ma réponse :

« Aux permutations des étapes 2) et 3) près, il n’y a qu’une solution »
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Juillet 2020, 1er défi

le 4 juillet 2020 à 16:02, par Niak

Pour compléter, le graphe complet des $23$ configurations ordonnées (tas dans l’ordre décroissant) accessibles.
Document joint : g.pdf
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Juillet 2020, 1er défi

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