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• Juillet 2020, 2e défi

  le 10 de julio de 2020 à 12:19, par drai.david

  On doit avoir $AB^2+BC^2=85$ et $CD^2+DE^2=85$.
  $85=2^2+9^2=6^2+7^2$.
  Ainsi, $\left \{ \left \{ AB;BC \right \};\left \{ CD;DE \right \} \right \}=\left \{ \left \{ 2;9 \right \};\left \{ 6;7 \right \} \right \}$.
  D’où $AB+BC+CD+DE=2+9+6+7=24$.
  Par ailleurs, $ 9 < AE < 10 $ et on cherche à minimiser $EF+FA$.

  • $10=1+9=2+8=3+7=4+6$ or $9,2,7$ et $6$ ne peuvent pas être réutilisés...
  • $11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6$ donc $\left \{ EF;FA \right \}\in \left \{ \left \{1;10 \right \};\left \{ 3;8 \right \} \right \}$.
    On en conclut que le périmètre minimal de l’hexagone ABCDEF vaut $24+11=35$ m.

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• Juillet 2020, 2e défi

  le 10 de julio de 2020 à 12:20, par Hébu

  Les côtés AB-BC et CD-DE doivent être entiers, et vérifier $u^2+v^2=85$. Seules solutions, (2, 9) et (6, 7). Reste à choisir $AF$ et $EF$. Ce qui donne un périmètre $24+AF+EF$

  Puisqu’on veut des longueurs toutes différentes, restent les possibilités (1, 3, 4, 5, 8, 10, 11, ...). Les couples $(u,v)$ choisis doivent vérifier l’inégalité triangulaire: $|u-v| \lt \sqrt{85}\lt u+v$

  Le choix pourrait être (1, 10), ou (3,8) , avec $AF+EF=11$. La solution (4,5) est interdite ($4+5 \lt \sqrt{85}$. Les autres solutions ( par exemple (4,8)) donnent un périmètre plus grand

  Donc, par exemple (9,2,6,7,10,1), ou bien (9,2,6,7,3,8) périmètre 35

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• Juillet 2020, 2e défi

  le 10 de julio de 2020 à 12:21, par Sidonie

  ABC et CDE sont des triangles rectangles donc AB²+BC² = CD²+DE² = 85 or 85 ne se décompose en somme de deux carrés qu’avec (2,9) et (6,7). L’inégalité triangulaire appliquée à EAF donne EF + FA supérieure ou égale à 10 mais 10 ne peut pas s’obtenir avec les nombres restants donc le minimum pour EF + FA est 11 (1,10) si on accepte un hexagone concave et (3,8) si on veut la convexité donc le minimum du périmètre est 35.

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• Juillet 2020, 2e défi

  le 10 de julio de 2020 à 12:25, par Niak

  On a $AC^2 = CE^2 = 85 = AB^2+BC^2 = CD^2+DE^2$, or $85 = 2^2+9^2 = 6^2+7^2$ sont les deux seules décompositions possibles, donc on sait que $\{AB, BC, CD, DE\} = \{2, 6, 7, 9\}$ puisque les longueurs des côtés doivent être distinctes.
  Pour le triangle $EFA$, on doit simplement vérifier l’inégalité triangulaire, d’où $EF+FA\geq 10 =\left\lceil\sqrt{85}\right\rceil$.
  Pour $EF+FA = 10 = 1+9 = 2+8 =3+7 =4+6 = 5+5$ aucune décomposition ne convient ($9$, $2$, $7$, $6$ sont déjà pris et $5$ fait doublon).
  Pour $EF+FA = 11 = 1+10 = 3+8$ on trouve plusieurs décompositions acceptables.
  Le périmètre minimal est donc $2+6+7+9+11 = 35$.

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• Juillet 2020, 2e défi

  le 10 de julio de 2020 à 12:43, par Niak

  Moi vers 12:15: «Bon ben je vais écrire une solution puisque personne n’a encore répondu.»
  Publication à 12:25: «Ah, trois solutions ont été publiées dans l’intervalle -_-’ .»
  À midi les matheu.ses.x mangent des maths.

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• Juillet 2020, 2e défi

  le 10 de julio de 2020 à 15:26, par Hébu

  ou bien elles-ils font la grasse matinée, et consultent la rubrique au saut du lit, vers midi !

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