Un défi par semaine

Juillet 2020, 2e défi

Le 10 juillet 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 28

Dans un hexagone $ABCDEF$ les longueurs des côtés sont des nombres entiers distincts. De plus on a $AC=CE=EA=\sqrt{85}$ m, et les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{CDE}$ sont droits. Quel est le minimum possible pour le périmètre de $ABCDEF$ ?

Solution du 1er défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : oui

C’est possible. Si on appelle $P, Q, R$ et $S$ les tas, une façon de faire (et en fait la seule à permutation des mouvements près) est :

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2020, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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Image à la une - KTSDESIGN / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2020, 2e défi

    le 10 juillet à 12:19, par drai.david

    On doit avoir $AB^2+BC^2=85$ et $CD^2+DE^2=85$.
    $85=2^2+9^2=6^2+7^2$.
    Ainsi, $\left \{ \left \{ AB;BC \right \};\left \{ CD;DE \right \} \right \}=\left \{ \left \{ 2;9 \right \};\left \{ 6;7 \right \} \right \}$.
    D’où $AB+BC+CD+DE=2+9+6+7=24$.
    Par ailleurs, $ 9 < AE < 10 $ et on cherche à minimiser $EF+FA$.

    • $10=1+9=2+8=3+7=4+6$ or $9,2,7$ et $6$ ne peuvent pas être réutilisés...
    • $11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6$ donc $\left \{ EF;FA \right \}\in \left \{ \left \{1;10 \right \};\left \{ 3;8 \right \} \right \}$.
      On en conclut que le périmètre minimal de l’hexagone ABCDEF vaut $24+11=35$ m.
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  • Juillet 2020, 2e défi

    le 10 juillet à 12:20, par Hébu

    Les côtés AB-BC et CD-DE doivent être entiers, et vérifier $u^2+v^2=85$. Seules solutions, (2, 9) et (6, 7). Reste à choisir $AF$ et $EF$. Ce qui donne un périmètre $24+AF+EF$

    Puisqu’on veut des longueurs toutes différentes, restent les possibilités (1, 3, 4, 5, 8, 10, 11, ...). Les couples $(u,v)$ choisis doivent vérifier l’inégalité triangulaire : $|u-v| \lt \sqrt{85}\lt u+v$

    Le choix pourrait être (1, 10), ou (3,8) , avec $AF+EF=11$. La solution (4,5) est interdite ($4+5 \lt \sqrt{85}$. Les autres solutions ( par exemple (4,8)) donnent un périmètre plus grand

    Donc, par exemple (9,2,6,7,10,1), ou bien (9,2,6,7,3,8) périmètre 35

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  • Juillet 2020, 2e défi

    le 10 juillet à 12:21, par Sidonie

    ABC et CDE sont des triangles rectangles donc AB²+BC² = CD²+DE² = 85 or 85 ne se décompose en somme de deux carrés qu’avec (2,9) et (6,7). L’inégalité triangulaire appliquée à EAF donne EF + FA supérieure ou égale à 10 mais 10 ne peut pas s’obtenir avec les nombres restants donc le minimum pour EF + FA est 11 (1,10) si on accepte un hexagone concave et (3,8) si on veut la convexité donc le minimum du périmètre est 35.

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  • Juillet 2020, 2e défi

    le 10 juillet à 12:25, par Niak

    On a $AC^2 = CE^2 = 85 = AB^2+BC^2 = CD^2+DE^2$, or $85 = 2^2+9^2 = 6^2+7^2$ sont les deux seules décompositions possibles, donc on sait que $\{AB, BC, CD, DE\} = \{2, 6, 7, 9\}$ puisque les longueurs des côtés doivent être distinctes.
    Pour le triangle $EFA$, on doit simplement vérifier l’inégalité triangulaire, d’où $EF+FA\geq 10 =\left\lceil\sqrt{85}\right\rceil$.
    Pour $EF+FA = 10 = 1+9 = 2+8 =3+7 =4+6 = 5+5$ aucune décomposition ne convient ($9$, $2$, $7$, $6$ sont déjà pris et $5$ fait doublon).
    Pour $EF+FA = 11 = 1+10 = 3+8$ on trouve plusieurs décompositions acceptables.
    Le périmètre minimal est donc $2+6+7+9+11 = 35$.

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    • Juillet 2020, 2e défi

      le 10 juillet à 12:43, par Niak

      Moi vers 12:15 : « Bon ben je vais écrire une solution puisque personne n’a encore répondu. »
      Publication à 12:25 : « Ah, trois solutions ont été publiées dans l’intervalle -_-’ . »
      À midi les matheu.ses.x mangent des maths.

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      • Juillet 2020, 2e défi

        le 10 juillet à 15:26, par Hébu

        ou bien elles-ils font la grasse matinée, et consultent la rubrique au saut du lit, vers midi !

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