Un défi par semaine

Juillet 2020, 4e défi

Le 24 juillet 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 30 Un nombre est antique s’il est formé de blocs de quatre chiffres et que chaque bloc est $2019$.

Par exemple $201\,920\,192\,019$ est un nombre antique, tandis que $202\,019$ et $20\,192\,020$ ne sont pas antiques.

Existe-t-il un nombre antique qui est le carré d’un nombre entier ?

Solution du 3e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : $133\,533$.

On propose deux solutions (qui heureusement donnent le même résultat !).

Solution 1 : Pour tout entier $b$, on a \[f(1,b) = 1+2+\dots+b = \frac{b(b+1)}2\].
On a alors
\[ \begin{align*} f(133,533)&=133+134+135+\dots+532+533 \\ &=1+2+\dots + 532+533 - (1+2+\dots+131+132)\\ &= \frac{533\times534}2 - \frac{132\times133}2 \\ &= 142\,311 - 8778 \\ &= 133\,533. \end{align*}\]

Solution 2 :
On pose $a=133$. On considère alors la progression arithmétique $a, a+1, a+2, \dots, a+400$.
La somme qu’on veut calculer est alors
\[\begin{align*} 133+ 134+\cdots+533 & = 401a+(0+1+2+\cdots+ 400)\\ &= 401a+200\times401\\ & = 401(a+200)\\ &=401(133+200)\\ &=401\times333\\ &=133\,533. \end{align*}\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2020, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - KTSDESIGN / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2020, 4e défi

    le 24 juillet à 15:08, par Niak

    J’ai ramé pour trouver une solution simple ! Donc, après plusieurs approches beaucoup plus complexes (consistant à écrire le nombre de différentes façons et à regarder ce qui se passe modulo $3$, $7$, $13$, $673$ et leurs carrés...) On peut simplement observer que si un tel nombre $a$ (impair) est un carré, alors il est le carré d’un nombre impair $k\equiv1\bmod 4$ ou $k\equiv3\bmod4$. Mais alors $a=k^2\equiv1\bmod 4$ dans tous les cas. Or $a$ est de la forme $100q+19\equiv3\bmod4$.

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