Un défi par semaine

Juillet 2020, 4e défi

El 24 julio 2020  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 30 Un nombre est antique s’il est formé de blocs de quatre chiffres et que chaque bloc est $2019$.

Par exemple $201\,920\,192\,019$ est un nombre antique, tandis que $202\,019$ et $20\,192\,020$ ne sont pas antiques.

Existe-t-il un nombre antique qui est le carré d’un nombre entier?

Solution du 3e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : $133\,533$.

On propose deux solutions (qui heureusement donnent le même résultat !).

Solution 1: Pour tout entier $b$, on a \[f(1,b) = 1+2+\dots+b = \frac{b(b+1)}2\].
On a alors
\[ \begin{align*} f(133,533)&=133+134+135+\dots+532+533 \\ &=1+2+\dots + 532+533 - (1+2+\dots+131+132)\\ &= \frac{533\times534}2 - \frac{132\times133}2 \\ &= 142\,311 - 8778 \\ &= 133\,533. \end{align*}\]

Solution 2:
On pose $a=133$. On considère alors la progression arithmétique $a, a+1, a+2, \dots, a+400$.
La somme qu’on veut calculer est alors
\[\begin{align*} 133+ 134+\cdots+533 & = 401a+(0+1+2+\cdots+ 400)\\ &= 401a+200\times401\\ & = 401(a+200)\\ &=401(133+200)\\ &=401\times333\\ &=133\,533. \end{align*}\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juillet 2020, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Comentario sobre el artículo

  • Juillet 2020, 4e défi

    le 24 de julio à 14:31, par pogarreau

    Terrible si on se lance dans des calculs algébriques du type N²=2019 2019 ... 2019 = 2019 (10001...10001) et trouver combien de 2019 il faut pour une racine carré entière!
    ... je vois de plus que soit tout le monde est parti en vacances, soit on sèche tous.

    Pourtant la solution est diablement facile à partir du moment qu’on sait s’il y a une solution ou pas :-)
    Effectivement, on pourrait vérifier l’existence d’un carré se terminant en 2019 ? ou plus simplement en 09?

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    • Juillet 2020, 4e défi

      le 24 de julio à 15:19, par Niak

      En calculant les $n^2 \bmod 100$ pour tout $0\leq n<100$, on peut en effet remarquer que les carrés d’entiers se terminent forcément par l’une des combinaisons suivantes :
      $\{00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96\}$
      Et $19$ ne figure pas dans le lot.

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  • Juillet 2020, 4e défi

    le 24 de julio à 15:08, par Niak

    J’ai ramé pour trouver une solution simple ! Donc, après plusieurs approches beaucoup plus complexes (consistant à écrire le nombre de différentes façons et à regarder ce qui se passe modulo $3$, $7$, $13$, $673$ et leurs carrés...) On peut simplement observer que si un tel nombre $a$ (impair) est un carré, alors il est le carré d’un nombre impair $k\equiv1\bmod 4$ ou $k\equiv3\bmod4$. Mais alors $a=k^2\equiv1\bmod 4$ dans tous les cas. Or $a$ est de la forme $100q+19\equiv3\bmod4$.

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    • Juillet 2020, 4e défi

      le 24 de julio à 16:47, par François

      Bravo ! Un entier impair ne peut être un carré que s’il est congru à 1 modulo 4. La notion de nombre antique n’était qu’un piège dans lequel nous sommes tous tombés. Qu’en est-il alors si on remplace $2019$ par $2017$ par exemple ?

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      • Juillet 2020, 4e défi

        le 24 de julio à 18:50, par Blaxapate

        $n^2\in\left\{0,1,4,5,6,9\right\} \mod{[10]}$.

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  • Juillet 2020, 4e défi

    le 27 de julio à 11:22, par drai.david

    Je découvre le problème et voici ma proposition :
    Si $n^2$ se termine par $19$, alors $n^2$ se termine par $9$.
    Si $n^2$ se termine par $9$, alors $n$ se termine par $3$ ou $7$.
    On distingue alors 2 cas :
    – si $n=10k+3$ alors :
    $n^2=100k^2+60k+9=20(5k^2+3k)+9$ donc $n^2$ est de la forme $20K+9$.
    Le chiffre des dizaines de $n^2$ est donc toujours pair.
    – si $n=10k+7$ alors :
    $n^2=100k^2+140k+49=100k^2+140k+40+9=20(5k^2+7k+2)+9$ donc $n^2$ est de la forme $20K+9$.
    Le chiffre des dizaines de $n^2$ est donc toujours pair.
    Conclusion : Un carré d’entier ne peut pas se terminer par $19$ et la réponse à la question posée est NON.

    Répondre à ce message

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