Un défi par semaine

Juillet 2020, 4e défi

Le 24 juillet 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 30 Un nombre est antique s’il est formé de blocs de quatre chiffres et que chaque bloc est $2019$.

Par exemple $201\,920\,192\,019$ est un nombre antique, tandis que $202\,019$ et $20\,192\,020$ ne sont pas antiques.

Existe-t-il un nombre antique qui est le carré d’un nombre entier ?

Solution du 3e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : $133\,533$.

On propose deux solutions (qui heureusement donnent le même résultat !).

Solution 1 : Pour tout entier $b$, on a \[f(1,b) = 1+2+\dots+b = \frac{b(b+1)}2\].
On a alors
\[ \begin{align*} f(133,533)&=133+134+135+\dots+532+533 \\ &=1+2+\dots + 532+533 - (1+2+\dots+131+132)\\ &= \frac{533\times534}2 - \frac{132\times133}2 \\ &= 142\,311 - 8778 \\ &= 133\,533. \end{align*}\]

Solution 2 :
On pose $a=133$. On considère alors la progression arithmétique $a, a+1, a+2, \dots, a+400$.
La somme qu’on veut calculer est alors
\[\begin{align*} 133+ 134+\cdots+533 & = 401a+(0+1+2+\cdots+ 400)\\ &= 401a+200\times401\\ & = 401(a+200)\\ &=401(133+200)\\ &=401\times333\\ &=133\,533. \end{align*}\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2020, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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Image à la une - KTSDESIGN / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2020, 4e défi

    le 24 juillet à 14:31, par pogarreau

    Terrible si on se lance dans des calculs algébriques du type N²=2019 2019 ... 2019 = 2019 (10001...10001) et trouver combien de 2019 il faut pour une racine carré entière !
    ... je vois de plus que soit tout le monde est parti en vacances, soit on sèche tous.

    Pourtant la solution est diablement facile à partir du moment qu’on sait s’il y a une solution ou pas :-)
    Effectivement, on pourrait vérifier l’existence d’un carré se terminant en 2019 ? ou plus simplement en 09 ?

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    • Juillet 2020, 4e défi

      le 24 juillet à 15:19, par Niak

      En calculant les $n^2 \bmod 100$ pour tout $0\leq n<100$, on peut en effet remarquer que les carrés d’entiers se terminent forcément par l’une des combinaisons suivantes :
      $\{00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96\}$
      Et $19$ ne figure pas dans le lot.

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  • Juillet 2020, 4e défi

    le 24 juillet à 15:08, par Niak

    J’ai ramé pour trouver une solution simple ! Donc, après plusieurs approches beaucoup plus complexes (consistant à écrire le nombre de différentes façons et à regarder ce qui se passe modulo $3$, $7$, $13$, $673$ et leurs carrés...) On peut simplement observer que si un tel nombre $a$ (impair) est un carré, alors il est le carré d’un nombre impair $k\equiv1\bmod 4$ ou $k\equiv3\bmod4$. Mais alors $a=k^2\equiv1\bmod 4$ dans tous les cas. Or $a$ est de la forme $100q+19\equiv3\bmod4$.

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    • Juillet 2020, 4e défi

      le 24 juillet à 16:47, par François

      Bravo ! Un entier impair ne peut être un carré que s’il est congru à 1 modulo 4. La notion de nombre antique n’était qu’un piège dans lequel nous sommes tous tombés. Qu’en est-il alors si on remplace $2019$ par $2017$ par exemple ?

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      • Juillet 2020, 4e défi

        le 24 juillet à 18:50, par Blaxapate

        $n^2\in\left\{0,1,4,5,6,9\right\} \mod{[10]}$.

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  • Juillet 2020, 4e défi

    le 27 juillet à 11:22, par drai.david

    Je découvre le problème et voici ma proposition :
    Si $n^2$ se termine par $19$, alors $n^2$ se termine par $9$.
    Si $n^2$ se termine par $9$, alors $n$ se termine par $3$ ou $7$.
    On distingue alors 2 cas :
    – si $n=10k+3$ alors :
    $n^2=100k^2+60k+9=20(5k^2+3k)+9$ donc $n^2$ est de la forme $20K+9$.
    Le chiffre des dizaines de $n^2$ est donc toujours pair.
    – si $n=10k+7$ alors :
    $n^2=100k^2+140k+49=100k^2+140k+40+9=20(5k^2+7k+2)+9$ donc $n^2$ est de la forme $20K+9$.
    Le chiffre des dizaines de $n^2$ est donc toujours pair.
    Conclusion : Un carré d’entier ne peut pas se terminer par $19$ et la réponse à la question posée est NON.

    Répondre à ce message

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