Un défi par semaine

Juillet 2020, 5e défi

El 31 julio 2020  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 31 Trois pas d’Abdoul sont aussi longs que cinq pas de son fils. Quand Abdoul fait six pas, son fils a le temps d’en faire sept. Si son fils a déjà marché $30$ pas devant lui et continue de marcher, combien de pas doit faire Abdoul pour le rattraper ?

Solution du 4e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : Non.

Si un nombre entier est pair, son carré est divisible par $4$, puisque $(2k)^2=4k^2$.

D’autre part si un nombre est impair, son carré est de la forme $(2k+1)^2=4k^2+4k+1$, et donc quand on le divise par $4$, il reste 1. En résumé, quand on divise par 4 le carré d’un nombre entier il reste toujours 0 ou 1.

Mais quand on divise $2019$ par 4, il reste 3 (en effet on a $2019= 504\times 4+3$).

De plus, en séparant les quatre derniers chiffres du début du nombre, tout nombre antique est de la forme $10\,000k+2019$.

Comme $10\,000$ est divisible par $4$, on en déduit que le reste de la division par 4 de n’importe quel nombre antique est 3.

Par conséquent il ne peut être le carré d’un entier.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juillet 2020, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Comentario sobre el artículo

  • Juillet 2020, 5e défi

    le 31 de julio à 08:41, par Al_louarn

    La longueur du pas d’Abdoul $d_A$ et celle du pas de son fils $d_F$ vérifient $3d_A=5d_F$ d’où $\dfrac{d_F}{d_A}=\dfrac{3}{5}$.
    La vitesse d’Abdoul $v_A$ et celle de son fils $v_F$ vérifient $\dfrac{6d_A}{v_A}=\dfrac{7d_F}{v_F}$ d’où $\dfrac{v_F}{v_A}=\dfrac{7d_F}{6d_A}=\dfrac{7 \times 3}{6 \times 5}=\dfrac{7}{10}$.
    Le temps que mettra Abdoul pour rattraper son fils en $x$ pas est $\dfrac{xd_A}{v_A}$.
    Pendant ce temps son fils aura parcouru la distance $xd_A-30d_F$ à la vitesse $v_F$.
    D’où :
    $\dfrac{xd_A-30d_F}{v_F}=\dfrac{xd_A}{v_A}$
    $xd_A-30d_F=\dfrac{v_F}{v_A}xd_A$
    $x=30\dfrac{d_F}{d_A}\times\dfrac{1}{1-\dfrac{v_F}{v_A}}$
    $x=60$ pas

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    • Juillet 2020, 5e défi

      le 31 de julio à 09:09, par Blaxapate

      Quand Abdoul fait 6 pas son fils en fait 7. 6 pas d’Abdoul font 10 pas de son fils. Donc quand Abdoul fait 6 pas, il rattrappe son fils de 3 de ses petits pas. Comme il a 10 fois 3 pas d’avance, Abdoul doit faire 10 fois 6 pas.

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      • Juillet 2020, 5e défi

        le 31 de julio à 10:47, par Al_louarn

        Je sentais bien qu’il y avait plus simple. Merci !

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  • Juillet 2020, 5e défi

    le 31 de julio à 12:01, par ROUX

    Longueur d’un pas de Abdoul: A.
    Longueur d’un pas de son fils: F.
    On a 3A=5F pour la longueur et pendant que Abdoul fait 6A soit 2×3A soit 2×5F soit 10F son fils fait 7F.
    Ouf, Abdoul finira bien par rattraper son fils.
    Chaque fois que Abdoul parcourt une distance de 10F il diminue l’écart de 3F.
    Cet écart est initialement de 30F donc Abdoul doit parcourir une distance de 100F soit 100×(3A/5) soit 60A.
    Abdoul doit faire 60 de ses pas.

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