Un défi par semaine

Juillet 2020, 5e défi

Le 31 juillet 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 31 Trois pas d’Abdoul sont aussi longs que cinq pas de son fils. Quand Abdoul fait six pas, son fils a le temps d’en faire sept. Si son fils a déjà marché $30$ pas devant lui et continue de marcher, combien de pas doit faire Abdoul pour le rattraper ?

Solution du 4e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : Non.

Si un nombre entier est pair, son carré est divisible par $4$, puisque $(2k)^2=4k^2$.

D’autre part si un nombre est impair, son carré est de la forme $(2k+1)^2=4k^2+4k+1$, et donc quand on le divise par $4$, il reste 1. En résumé, quand on divise par 4 le carré d’un nombre entier il reste toujours 0 ou 1.

Mais quand on divise $2019$ par 4, il reste 3 (en effet on a $2019= 504\times 4+3$).

De plus, en séparant les quatre derniers chiffres du début du nombre, tout nombre antique est de la forme $10\,000k+2019$.

Comme $10\,000$ est divisible par $4$, on en déduit que le reste de la division par 4 de n’importe quel nombre antique est 3.

Par conséquent il ne peut être le carré d’un entier.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2020, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - KTSDESIGN / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2020, 5e défi

    le 31 juillet à 10:47, par Al_louarn

    Je sentais bien qu’il y avait plus simple. Merci !

    Répondre à ce message

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