Un défi par semaine

Juillet 2021, 2e défi

Le 9 juillet 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 27
Combien de nombres à deux chiffres sont divisibles par chacun de leurs deux chiffres ?

Solution du 1er défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : $180^\circ$.
Donnons un nom aux sept angles marqués ainsi qu’aux angles de l’heptagone central.

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Considérons le triangle dont les trois angles sont $a$, $d$ et $n$. Comme la somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$, on a $a+d=180^\circ-n$. De même :
\[ \begin{eqnarray*} b+e &=& 180^\circ-h\\ c+f &=& 180^\circ-i\\ d+g &=& 180^\circ-j\\ e+a &=& 180^\circ-k\\ f+b &=& 180^\circ-l\\ g+c &=& 180^\circ-m. \end{eqnarray*} \]
En additionnant les sept égalités, on obtient \[2(a+b+c+d+e+f+g)=1260^\circ-(h+i+j+k+l+m+n)\].

Comme la somme des angles intérieurs d’un heptagone vaut :
\[180^\circ\times (7-2)= 900^\circ,\]
on en déduit : $a+b+c+d+e+f+g=180^\circ$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2021, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2021, 2e défi

    le 9 juillet à 09:50, par François

    Soit n = 10a + b un tel nombre. a divise n donc a divise b et b = αa.
    De même b divise n donc 10a et 10a = βb = αβa et αβ = 10. Les seules valeurs possibles pour α (et β) sont 1, 2, 5.
    pour α =1 , b = a et les valeurs possibles de a sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
    pour α = 2 , b = 2a et les valeurs possibles de a sont 1, 2, 3, 4
    pour α = 5 , b =5a et la seule valeur possible pour a est 1.
    Il y a 9+4+1 = 14 valeurs possibles pour n.

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