Un défi par semaine

Juillet 2021, 3e défi

Le 16 juillet 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 28
Partant d’un triangle équilatéral de côté $1$ cm, on place à l’extérieur des trois côtés trois copies d’un même triangle isocèle. Si la somme des aires des trois triangles isocèles est égale à l’aire du triangle équilatéral, quelle est la longueur des côtés égaux dans les triangles isocèles ?

Solution du 2e défi de juillet :

Enoncé

La réponse est : $14$ nombres.

Notons $a$ et $b$ les deux chiffres d’un nombre $10a+b$ qui répond au problème. Pour que $a$ divise $10a+b$, il faut et il suffit que $a$ divise $b$, c’est-à-dire qu’il existe $t$ entier tel que $b=at$.
Pour que $b$ divise $10a+b$, il faut et il suffit que $b=at$ divise $10a$, et donc que $t$ divise $10$.
Comme $t$ est le quotient de deux chiffres, $t$ est entre $1$ et $9$.
Il y a alors trois valeurs possibles pour $t$.

  • Si $t=1$, alors on a $a=b$, qui peuvent prendre neuf valeurs. Cela donne les nombres $11, 22, \,\dots, 99$.
  • Si $t=2$, alors on a $b=2a$. Le chiffre $a$ doit donc être entre $1$ et $4$. Cela donne les nombres $12, 24, 36$ et $48$.
  • Si $t=5$, alors on a $b=5a$. Le chiffre $a$ ne peut être égal qu’à $1$. Cela donne le nombre $15$.

En tout, on a $9+4+1=14$ nombres qui marchent.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2021, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

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  • Juillet 2021, 3e défi

    le 16 juillet à 09:49, par Elrigo

    Si on pense à tracer les symétriques des triangles isocèles par rapport à leur base, ils ont comme sommet commun le centre de gravité G du triangle équilatéral (nommons-le ABC).
    Alors GA=GB=GC=« racine de3 »/3.

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