Un défi par semaine
Juillet 2022, 4e défi
El
22 julio 2022
- Escrito por
Ana Rechtman
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : «Les maths, une aventure humaine».
Toute une année pour partir à la découverte de femmes et d’hommes qui, à travers leur travail, leurs échanges, leur génie mais aussi leurs contradictions, ont construit les mathématiques.
Semaine 29
Combien de triangles y a-t-il dans cette figure?

Enoncé
Commençons par écrire les solutions de l’équation $15a-13b=1$ sous forme paramétrée. Pour cela, on commence par déterminer une solution particulière. On a tout d’abord:
\[
\begin{eqnarray*}
15 & = & 13\times 1+ 2\\
13 & = & 2\times 6+ 1.
\end{eqnarray*}
\]
En substituant, on obtient:
\[
\begin{eqnarray*}
1 & = & 13- 2\times 6\\
1 & = & 13 -(15-13)\times 6\\
1& = & 13\times 7 -15\times 6.
\end{eqnarray*}
\]
On en déduit que $a=-6$ et $b=-7$ forment une solution particulière de $15a-13b=1$. Toute autre solution $(a,b)$ vérifie alors:
\[
\begin{eqnarray*}
15 a -13b &=&13\times 7 -15\times 6\\
15(a+6)&=&13(7+b).
\end{eqnarray*}
\]
On en déduit que l’on peut paramétrer les solutions $a$ et $b$ sous la forme $a=13n-6$ et $b=15n-7$, pour $n$ décrivant l’ensemble des entiers relatifs.
Pour ce paramétrage, la quantité à maximiser est $a+b=28n-13$, qui est strictement croissante en fonction de $n$. Il s’agit donc de déterminer la plus grande valeur de $n$ compatible avec la condition $a=13n-6\leq 500$ et $b=15n-7\leq 500$.
Lorsque $n>0$, on a $b=15n-7>13n-6=a$. Donc la condition $a, b\leq 500$ implique $15n\leq 507$, autrement dit $n\leq 33$. Pour $n=33$, on obtient donc $a+b=28n-13=28\times 33-13=911$.
Réponse : $a+b=911$.
Post-scriptum : Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.
Para citar este artículo:
Ana Rechtman
— «Juillet 2022, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022
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