Enoncé

Commençons par écrire les solutions de l’équation $15a-13b=1$ sous forme paramétrée. Pour cela, on commence par déterminer une solution particulière. On a tout d’abord:

\[ \begin{eqnarray*} 15 & = & 13\times 1+ 2\\ 13 & = & 2\times 6+ 1. \end{eqnarray*} \]

En substituant, on obtient:
\[ \begin{eqnarray*} 1 & = & 13- 2\times 6\\ 1 & = & 13 -(15-13)\times 6\\ 1& = & 13\times 7 -15\times 6. \end{eqnarray*} \]
On en déduit que $a=-6$ et $b=-7$ forment une solution particulière de $15a-13b=1$. Toute autre solution $(a,b)$ vérifie alors:

\[ \begin{eqnarray*} 15 a -13b &=&13\times 7 -15\times 6\\ 15(a+6)&=&13(7+b). \end{eqnarray*} \]

On en déduit que l’on peut paramétrer les solutions $a$ et $b$ sous la forme $a=13n-6$ et $b=15n-7$, pour $n$ décrivant l’ensemble des entiers relatifs.

Pour ce paramétrage, la quantité à maximiser est $a+b=28n-13$, qui est strictement croissante en fonction de $n$. Il s’agit donc de déterminer la plus grande valeur de $n$ compatible avec la condition $a=13n-6\leq 500$ et $b=15n-7\leq 500$.

Lorsque $n>0$, on a $b=15n-7>13n-6=a$. Donc la condition $a, b\leq 500$ implique $15n\leq 507$, autrement dit $n\leq 33$. Pour $n=33$, on obtient donc $a+b=28n-13=28\times 33-13=911$.

Réponse : $a+b=911$.