Un défi par semaine

Juillet 2022, 5e défi

Le 29 juillet 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 est en vente ! Il s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 30

Combien de couples $(x,y)$ de nombres réels vérifient l’équation $x^{40} + y^{40}=(xy)^{20}$ ?

Solution du 4e défi de juillet 2022 :

Enoncé

Réponse : 20 triangles

Distinguons suivant la taille des triangles, qui peut prendre trois valeurs.
Il y a $12$ triangles de petite taille :

PNG - 17.3 ko

Ensuite, il y a six triangles de taille moyenne :

PNG - 36.8 ko

Enfin, il y a deux triangles de taille maximale :

PNG - 63.6 ko

Finalement, il y a $12+6+2=20$ triangles.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juillet 2022, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Juillet 2022, 5e défi

    le 29 juillet à 11:09, par François

    Seule solution : (0,0).
    Preuve 1 : si $(xy) \neq 0$ alors en divisant par $(xy)^{20}$, on obtient $\displaystyle \left(\frac{x} {y} \right)^{20} + \left(\frac{y} {x} \right)^{20} = 1$. Or l’un des deux termes $\displaystyle \left(\frac{x} {y} \right)$ ou $\displaystyle \left(\frac{y} {x} \right)$ est plus grand que $1$, ce qui est impossible.
    Preuve 2 :
    $\displaystyle x^{40} + y^{40} - (xy)^{40} = \frac {3} {4} (x^{20} -y^{20})^2 + \frac {1} {4}(x^{20} + y^{20})^2 = 0$, et donc $x = y = 0$.

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    • Juillet 2022, 5e défi

      le 29 juillet à 11:27, par François

      dernière ligne lire $(xy)^{20}$ au lieu de $(xy)^{40}$.

      Répondre à ce message
    • Juillet 2022, 5e défi

      le 31 juillet à 11:33, par jml83

      Très belles démonstrations.

      Répondre à ce message
    • Juillet 2022, 5e défi

      le 31 juillet à 13:05, par ROUX

      La preuve n°1 est très très belle !!!

      Répondre à ce message
  • Juillet 2022, 5e défi

    le 29 juillet à 11:21, par claude

    x⁴⁰+y⁴⁰=xy²⁰
    Posons x²⁰=X et y²⁰=Y
    L’équation devient : X²+Y²=XY
    soit X²+Y²-XY=0 ou encore
    X²+Y²-2XY+XY=0
    (X-Y)²+XY=0
    (X-Y)² =-XY
    (X-Y)² ≥0
    Il faut donc que -XY ≥0
    Donc que X et Y soient de signe contraire ou qu’ils soient nuls
    0r X et Y sont des puissances paires (=x²⁰ et y²⁰) donc de même signe (≥0)
    Il n’y a donc qu’une seule solution
    x=0 ; y=0

    Répondre à ce message
  • Juillet 2022, 5e défi

    le 31 juillet à 11:31, par jml83

    Pour montrer qu’il n’y a pas d’autre solution que la solution triviale, on peut aussi faire un changement de variable pour obtenir l’équation X2 + Y2 = XY et passer en coordonnées polaire, on obtient alors l’équation (sin teta) * (cos teta) = 1 qui n’a pas de solution.

    Répondre à ce message

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