Enoncé

La réponse est $25$ points.

Appelons $A$, $B$, $C$ et $D$ les milieux des côtés du parallélogramme et $E$ son centre, comme le montre la figure. Il y a 8 triangles dont les sommets sont placés sur ces points, quatre qui ont $E$ comme sommet et quatre pour lesquels $E$ est le milieu d’un des côtés.

Considérons les triangles ayant un sommet en $E$ et marquons les milieux de leurs côtés et de leurs médianes. On trouve les milieux des côtés $AB$, $BC$, $CD$, $AD$, $AE$, $BE$, $CE$ et $DE$ ; on obtient donc $8$ points. Si maintenant on indique les milieux des médianes, on obtient $12$ points de plus, puisque chaque triangle a $3$ médianes.

A présent, considérons les triangles pour lesquels $E$ est au milieu d’un côté. Par exemple, dans le triangle $ABD$ les milieux des côtés sont déjà indiqués. Appelons $M$ le milieu du côté $AB$. Le milieu du segment $EM$ est déjà marqué car $EM$ est médiane du triangle $ABE$. Observons que comme $E$ est milieu de $BD$, la droite $EM$ est parallèle à $AD$, ce qui implique que le milieu de la médiane $BP$ du triangle $ABD$ est sur $EM$. De plus, comme $P$ est milieu de $AD$, le point d’intersection de $EM$ et $BP$ est le milieu de $EM$. Ce qui explique que les milieux des médianes du triangle $ABD$ qui passent par $B$ et $D$ soient déjà signalés. La troisième médiane du triangle $ABD$ est $AE$, dont le milieu est aussi indiqué. Tout cela implique que dans le triangle $ABD$ on ne marque aucun point, et qu’il en va de même avec les autres trois triangles pour lesquels $E$ est au milieu d’un côté.

Par conséquent, à la fin il y aura $5+8+12=25$ points marqués.