Un défi par semaine

Juin, 1er défi

6 juin 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 23 :

Dans chaque case d’un damier de $1000\times 1000$, on écrit l’un des nombres
suivants : $1$, $-1$ ou $0$. Ensuite, on ajoute tous les nombres écrits sur chaque ligne et sur chaque colonne, obtenant $2000$ résultats. Est-il possible de construire un damier de manière à ce que les $2000$ nombres obtenus soient tous distincts ?

Solution du 5ème défi de Mai

Enoncé

La réponse est $10^{999\,999\,999}$.

Comme le plus petit entier positif de $2$ chiffres est $10$, on obtient que la plus petite valeur de $a$ est $10$. Donc la plus petite valeur de $b$ est $10^9$ et la plus petite valeur de $c$ est $10^{10^9-1} = 10^{999\,999\,999}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Un nœud et sa surface de Seifert, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Juin, 1er défi

    le 6 juin 2014 à 09:59, par Daniate

    Pour une fois, le remplissage est possible.

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  • Juin, 1er défi

    le 6 juin 2014 à 20:33, par Lina

    Il suffit de remplir la demi-diagonale par 500 fois 0, puis le reste de la diagonale par 500 fois -1. Toutes les cases au dessus de cette diagonale seront -1 et toutes les autres 1.

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    • Juin, 1er défi

      le 9 juin 2014 à 12:15, par ROUX

      Hum... Et si Ana avait proposé une grille carrée avec un nombre impair de lignes ?

      J’ai l’impression que cela ne serait pas possible mais je ne vois pas comment le démontrer (ni d’ailleurs comment montrer que c’est possible en dehors d’exhiber une grille qui fonctionne...).

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  • Juin, 1er défi

    le 9 juin 2014 à 12:35, par Ana Rechtman

    Merci pour cette question !

    Il semble impossible remplir une grille de coté impair, mais je ne connais pas de démonstration. J’ai déjà demandé autour de moi si le problème était connu, ca n’a pas l’aire d’etre le cas. Si quelqu’un trouve une bonne idée ca serait encore un triomphe pour ce site.

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    • Juin, 1er défi

      le 12 juin 2014 à 15:45, par tpao

      Il me semble aussi que ce soit impossible. Je pense avoir trouvé un argument « assez » simple.
      On note n le coté du damier (qui est impair). On peut montrer que les sommes des lignes et des colonnes sont les nombres -n, -n+1, ..., n , ce qui fait 2n+1 nombres mais que les nombres n et -n ne peuvent pas être atteint sur une même grille (si c’était le cas, ils seraient atteint sur deux lignes par exemples et il n’y aurait plus assez de sommes possibles sur les colonnes pour avoir assez de sommes distinctes). On en déduit qu’il y a autant de sommes impaires que paires qui sont atteintes sur la grille solution.

      Or cela est impossible quand n est impair. En effet, si l’on se donne une grille remplie avec p sommes pairs et i sommes impaires (p+i = 2n), alors si l’on change un élément quelconque de la grille, soit p et i sont inchangés, soit on fait quelque chose comme p -> p+2 et i -> i-2 (ou l’inverse). Si l’on part d’une grille avec que des 0, alors on a i=0 et p=2n. En faisant le procédé précédent pour aller vers une potentielle grille solution, on voit que c’est impossible car on peut au mieux arriver sur i=n-1 (nombre pair) et p=n+1 mais jamais sur i=p=n qui est exigé par une grille solution.

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      • Juin, 1er défi

        le 12 juin 2014 à 19:18, par Daniate

        Bonjour, pourriez-vous développer votre argument qui justifie qu’ il n’y a plus assez de sommes possible sur les colonnes.

        Je reviens sur mon message précédent, à l’époque je raisonnais sur des grilles emplies de 0, 1 et 2 d’où mon bafouillage pair-impair. Dans une grille remplie de -1, 0, 1 mon argument se décline ainsi :

        la somme des 2n+1 sommes possibles est 0 il faut donc enlever une somme paire pour équilibrer lignes et colonnes. Si maintenant on ne peut enlever qu’une valeur extrême c’est que n est pair

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        • Juin, 1er défi

          le 14 juin 2014 à 18:52, par tpao

          Pardonnez moi. J’ai fait une erreur dans mon comptage et le problème reste donc ouvert.

          J’ai lu ton message après et en fait tu avais montré exactement la même chose.

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  • Juin, 1er défi

    le 9 juin 2014 à 15:00, par Daniate

    Pour remplir une grille il faut enlever une des sommes possibles (paire pour une grille paire, impaire pour une grille impaire). Dans la solution de Lina ainsi que dans celles que j’ai trouvé par récurrence, la somme enlevée est extrême ( -1000 ou 1000 ). Je n’ai pas trouvé de solution avec une valeur intermédiaire enlevée mais je n’ai pas vraiment démontré que c’est impossible. Si on pouvait démontrer que pour toute grille il faut enlever une valeur extrême alors le cas des grilles impaires serait résolu. Ceci fait beaucoup de si.

    Répondre à ce message

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