Un défi par semaine

Juin 2015, 3e défi

Le 19 juin 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 25 :

Dans une école, les étudiants peuvent faire du football ou du basketball. Un cinquième des étudiants qui jouent au football jouent également au basketball et un septième de ceux qui jouent au basketball jouent aussi au football. Si $110$ étudiants pratiquent un seul de ces deux sports, combien pratiquent les deux sports ?

Solution du 2ème défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $26$ cm.

Nous voyons que les triangles $ABN$ et $MBC$ sont tous les deux rectangles.

JPEG - 18.8 ko

Nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore dans ces deux triangles :

$AB^2+\left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AN^2 = 19^2$

$BC^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2 = MC^2 = 22^2.$

En isolant $BC^2$ de la seconde équation et en le substituant dans la première, nous obtenons

$AB^2+\frac{22^2-\frac{AB^2}{4}}{4} = 19^2$

$\frac{15}{16}AB^2+\frac{22^2}{4} = 19^2$

$\frac{15}{16}AB^2+\frac{2^2\cdot 11^2}{4} = 19^2$

$\frac{15}{16}AB^2 = 19^2-11^2$

$AB^2 = \frac{240\cdot 16}{15}=16^2.$

Alors $BC^2=22^2-\frac{16^2}{4}=420$ et

$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{420+256}=26\,\mbox{cm}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Denis Burdin / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Juin 2015, 3ème défi

    le 19 juin 2015 à 21:55, par ROUX

    Oh la la...
    Ça me rappelle un défi avec des gens d’une entreprise qui parlaient une ou d’eux langues et je m’étais bien ramassé...
    Là, j’ai une solution mais je voulais vérifier... Et personne n’a répondu !
    Vous vous en souvenez et vous attendez, hein !? Vous attendez que je me gamelle...
    M’en fiche, j’y vais.
    Alors, les gens qui jouent au foot et qui jouent au basket sont les mêmes que les gens qui jouent au basket et qui jouent au foot.
    J’ai tracé une case dans laquelle j’ai écrit FB.
    A gauche de cette case, j’ai tracé quatre cases identiques que j’ai appelées F ; comme ça, j’ai bien que FB fait un cinquième de F puisqu’il y a bien cinq cases avec du F dedans.
    A droite de la même case FB, j’ai tracé 6 cases identiques que j’ai appelées B ; comme ça, j’ai bien que FB fait un septième de B puisqu’il y a bien sept cases avec du B dedans.
    J’ai compté les cases avec seulement F et seulement B et j’en ai trouvé dix.
    Donc dix cases font 110 donc une case fait 11 donc FB fait 11.
    Il y a donc 11 joueurs qui font les deux sports, 44 joueurs qui ne font que du foot et 66 joueurs qui ne font que du basket pour un total de 121 joueurs.

    - Daniate ? écrit-il, tremblant...

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    • Juin 2015, 3ème défi

      le 22 juin 2015 à 22:44, par Daniate

      Désolé, je ne disposais pas d’Internet ces derniers jours. J’apprécie votre solution graphique parfaitement recevable et tout à fait correcte.

      Je vois ici un petit problème sur les ensembles. J’appelle B (resp F) l’ensemble des basketteurs (resp footeux) de cardinal b (resp f). On cherche le cardinal de B inter F noté x. D’ après l’énoncé B union F est l’ensemble des élèves (aucun calcul n’aurait de sens si au moins un élève ne pratiquait aucun sport), b=7x, f=5x. J’applique la relation fondamentale des cardinaux :

      card (B) + card(F) = card(B inter F) + card(B union F) donc 7x+5x=110+x et donc x=11

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      • Juin 2015, 3ème défi

        le 22 juin 2015 à 22:58, par ROUX

        J’adore votre sens du contre-pied.
        A mes yeux, vous illustrez ce que peuvent être les mathématiques : des regards différents sur un même problème. Il me semble que c’est un aspect complètement passé sous silence dans l’enseignement où on ne montre jamais comment un même problème peut être traité de tellement de manières différentes.
        Mais au fait, les deux derniers récipiendaires du prix Abel ne le sont-ils pas pour avoir appliqué des méthodes de la plus méchante des analyses (équations aux dérivées partielles) à de purs (croyait-on) problèmes de géométrie ?

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        • Juin 2015, 3ème défi

          le 23 juin 2015 à 09:18, par Daniate

          Je veux tout d’abord corriger l’ équation, le cardinal de la classe est 110 + x , celui de l’intersection est x : l’égalité devient 5x + 7x = 110 + x +x ce qui donne bien x = 11.

          Et maintenant une vieille méthode arithmétique, la fausse position, elle aussi devenue désuète et qui devrait vous plaire.

          Je décide qu’il y a 5 élèves qui pratiquent les 2 sports ce qui fait 25 basketteurs dont 20 ne font pas de football et 35 footeux dont 30 ne font pas de basket soit 50 ne pratiquant qu’un sport. Il m’en manque 60.

          Si j’ajoute un élève aux 2 sports, j’ajoute 4 élèves aux B non F et 6 aux F non B soit 10 élèves avec 1 sport. Je dois donc faire la manœuvre 6 fois pour arriver à 110, et je retrouve bien les 11 élèves à 2 sports.

          Naturellement j’aurais pu choisir au départ 0, 10, 45 ou 223 élèves.

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  • Juin 2015, 3ème défi

    le 20 juin 2015 à 11:34, par nef2240

    Bonjour, la solution est simple 11 pratique Basket et Football.
    Dans la population de football seulement 1/5 joue aux deux sports mais on peut l’exprimer autrement population de ceux qui joue football uniquement X => X/4 joue dans le deux sports
    Dans la population de basket seulement 1/7 joue aux deux sports mais on peut l’exprimer autrement population de ceux qui joue basket uniquement Y => Y/6 joue dans les deux sports.
    Or X/4 = Y/6 (même population) et on sait X+Y=110 donc X=44 et Y=66 donc X/4 =11 pratiquent les deux sports.

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  • Juin 2015, 3ème défi

    le 20 juin 2015 à 12:37, par BBazin

    si
    x ne font que du foot, y ne font que du basket,z font les deux
    Trois équation, trois inconnues
    x+y=110
    x+z=5z
    y+z=7z
    110 =x+y=10z ce qui fait z=11

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