Un défi par semaine

Juin 2015, 4e défi

El 26 junio 2015  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 26 :

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers inférieurs à $100$. Si les nombres $p+6$, $p+10$, $q+4$, $q+10$ et $p+q+1$ sont tous premiers, quelle est la plus grande valeur que peut prendre $p+q$?

Solution du 3ème défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $11$ étudiants.

On désigne par $n$ le nombre d’étudiants qui jouent au football, par $k$ le nombre d’étudiants qui jouent au basketball et par $d$ le nombre d’étudiants qui pratiquent les deux sports. De l’énoncé du problème nous obtenons : $\frac{n}{5}=d$, $\frac{k}{7}=d$, d’où $n=5d$ et $k=7d$.

Il y a $k-d$ étudiants qui jouent uniquement au basketball et $n-d$ qui jouent uniquement au football. Nous avons donc $(n-d)+(k-d)$ étudiants qui pratiquent un seul sport, c’est-à-dire

$110=n+k-2d=5d+7d-2d=10d.$

Nous en déduisons que $110=10d$, d’où nous obtenons $d=11$. Donc, $11$ étudiants pratiquent les deux sports.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juin 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Denis Burdin / SHUTTERSTOCK

Comentario sobre el artículo

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  • Juin 2015, 4ème défi

    le 28 de junio de 2015 à 14:30, par nef2240

    Merci avec le soleil le calcul mental n’est plus ce qu’il est.
    J’ai pris le taureau par les cornes:
    Matrice avec ligne p possible 6 valeurs possibles conditions distances (+6,+10) : 7,13,31,37,61,73 et en colonne q 8 valeurs possibles conditions distances (+4,+10). Dans la matrice on élimine plusieurs cas
    p et q terminent par 7 => Impossible
    p+q+1 nous fait éliminer certains nombre de cases
    si p-1 est multiple de 3 alors q-1 ne l’est pas (vice versa) cela élimine un certains nb de case
    Nous voyons 3 cas possible :
    (p,q)=(7,3),(13,3),(37,3)
    Solution p+q=40

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