Juin 2015, 4e défi

Le 26 juin 2015 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 26 :

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers inférieurs à $100$. Si les nombres $p+6$, $p+10$, $q+4$, $q+10$ et $p+q+1$ sont tous premiers, quelle est la plus grande valeur que peut prendre $p+q$ ?

Solution du 3ème défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $11$ étudiants.

On désigne par $n$ le nombre d’étudiants qui jouent au football, par $k$ le nombre d’étudiants qui jouent au basketball et par $d$ le nombre d’étudiants qui pratiquent les deux sports. De l’énoncé du problème nous obtenons : $\frac{n}{5}=d$, $\frac{k}{7}=d$, d’où $n=5d$ et $k=7d$.

Il y a $k-d$ étudiants qui jouent uniquement au basketball et $n-d$ qui jouent uniquement au football. Nous avons donc $(n-d)+(k-d)$ étudiants qui pratiquent un seul sport, c’est-à-dire

$110=n+k-2d=5d+7d-2d=10d.$

Nous en déduisons que $110=10d$, d’où nous obtenons $d=11$. Donc, $11$ étudiants pratiquent les deux sports.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Juin 2015, 4ème défi

le 27 juin 2015 à 13:36, par Kamakor

Supposez que ni p, ni q soit égal à 3, et cherchez les congruences modulo 3 des nombres donnés.
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