Un défi par semaine

Juin 2016, 2e défi

10 juin 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 24 :

En commençant par $(a_0,b_0,c_0)=(1,2,3)$, nous formons $(a_1,b_1,c_1)=(a_0+b_0,b_0+c_0,c_0+a_0)$. Après, nous formons $(a_2, b_2, c_2)=(a_1+b_1,b_1+c_1,c_1+a_1)$ et ainsi de suite. Trouver la valeur de $n$ telle que $\dfrac{(a_n+b_n+c_n)}{(a_0+b_0+c_0)}$ soit entre $1000$ et $2000$.

Solution du 1er défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $10$ cm$^2$.

Observons tout d’abord que, puisque $AP:PB=2$ et que $AB=6$ cm, nous avons $AP=4$ cm et $PB=2$ cm. Traçons la droite $(ST)$ parallèle à $(AD)$ qui passe par le point $Q$.

PNG - 22.1 ko

Etant donné que le triangle $APQ$ est isocèle en $Q$, le point $S$ est le milieu du segment $[AP]$. De plus les triangles $AQD$ et $CQD$ sont superposables puisque leurs côtés sont égaux. Les angles $\widehat{ADQ}$ et $\widehat{CDQ}$ sont donc égaux et mesurent $45^\circ$. Le triangle $QTD$ est donc rectangle isocèle avec $QT=TD=2$ cm. L’aire du triangle $QPC$ est égale à l’aire du carré qui mesure $6\times 6=36$ cm$^2$ moins

  • l’aire du triangle $APQ$ qui mesure :

$\frac{AP\times SQ}{2}=\frac{4\times (6-2)}{2}=8\,\mbox{cm}^2;$

  • l’aire du triangle $PBC$ qui mesure

$\frac{6\times 2}{2}=6\,\mbox{cm}^2;$

  • em deux fois l’aire du triangle $CQD$ qui mesure

$\frac{CD\times QT}{2}=\frac{6\times 2}{2}=6\,\mbox{cm}^2.$

Ainsi l’aire du triangle $QPC$ mesure $36-(8+6+12)=10$ cm$^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2016, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Juin 2016, 2e défi

    le 10 juin à 07:18, par Al_louarn

    Posons $u_n=a_n+b_n+c_n$.
    Alors nous cherchons $n$ tel que $1000 \leq \frac{u_n}{u_0} \leq 2000$.
    Or $u_{n+1}=(a_n+b_n)+(b_n+c_n)+(c_n+a_n)=2(a_n+b_n+c_n)=2u_n$
    C’est une suite géométrique de raison $2$ donc $u_n=2^{n}u_0$.
    Il faut donc que $1000 \leq 2^{n} \leq 2000$.
    La réponse est $n=10$ puisque $2^{10}=1024$.

    Répondre à ce message
  • Juin 2016, 2e défi

    le 10 juin à 17:53, par ROUX

    Avec (a,b,c) je construis (a+b,b+c,c+a).
    Si a+b+c=s, (a+b)+(b+c)+(c+a)=2s=S.
    Je peux poser a+b=A, b+c=B et c+a=C.
    J’ai alors maintenant (A,B,C) dont la somme A+B+C=S=2s.
    Au prochain coup, j’aurai un (GrandA,GrandB,GrandC) dont la somme vaudra GrandS=2S=4s.
    A chaque étape, je multiplie la somme par deux et comme gentiment Ana a numéroté 0 le premier triplet, le deuxième triplet est numéroté 1 et la somme de ses termes est 2^1 fois la somme des termes du triplet 0.
    Donc, pour le n-ième triplet, 2^n compris entre 1000 et 2000 soit, exactement égal à ce wellknown 1024 ;) !!!
    Alors n=10.
    Et ça fonctionne quelque soit le triplet numéro 0 donc pas besoin de préciser (1,2,3) ;) !!!

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  • Juin 2016, 2e défi

    le 11 juin à 22:46, par AdoKraT

    Avec les matrices on résout ce problème assez facilement.

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  • Juin 2016, 2e défi

    le 12 juin à 17:53, par Lina

    Je n’ai pas vu en quoi les matrices permettaient de résoudre le problème, en tout cas elles permettent de donner les valeurs explicites de a(n) b(n) c(n).

    Pour simplifier l’écriture je pose u(n)= [(1+3i)/2]^n+[(1-3i)/2]^n. C’est en fait une suite 6-cyclique qui vaut 2,1,-1,-2,-1,1,2 ...

    a(n)=[(2^n+u(n))*a(0)+(2^n-u(n+1))*b(0)+(2^n-u(n-1))*c(0)]/3

    b(n)=[(2^n-u(n-1))*a(0)+(2^n+u(n))*b(0)+(2^n+u(n-2))*c(0)]/3

    c(n)=[(2^n-u(n+1))*a(0)+(2^n+u(n+2))*b(0)+(2^n+u(n))*c(0)]/3

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