Juin 2016, 2e défi

Le 10 juin 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 24 :

En commençant par $(a_0,b_0,c_0)=(1,2,3)$, nous formons $(a_1,b_1,c_1)=(a_0+b_0,b_0+c_0,c_0+a_0)$. Après, nous formons $(a_2, b_2, c_2)=(a_1+b_1,b_1+c_1,c_1+a_1)$ et ainsi de suite. Trouver la valeur de $n$ telle que $\dfrac{(a_n+b_n+c_n)}{(a_0+b_0+c_0)}$ soit entre $1000$ et $2000$.

Solution du 1er défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $10$ cm$^2$.

Observons tout d’abord que, puisque $AP:PB=2$ et que $AB=6$ cm, nous avons $AP=4$ cm et $PB=2$ cm. Traçons la droite $(ST)$ parallèle à $(AD)$ qui passe par le point $Q$.

Etant donné que le triangle $APQ$ est isocèle en $Q$, le point $S$ est le milieu du segment $[AP]$. De plus les triangles $AQD$ et $CQD$ sont superposables puisque leurs côtés sont égaux. Les angles $\widehat{ADQ}$ et $\widehat{CDQ}$ sont donc égaux et mesurent $45^\circ$. Le triangle $QTD$ est donc rectangle isocèle avec $QT=TD=2$ cm. L’aire du triangle $QPC$ est égale à l’aire du carré qui mesure $6\times 6=36$ cm$^2$ moins

l’aire du triangle $APQ$ qui mesure :

$\frac{AP\times SQ}{2}=\frac{4\times (6-2)}{2}=8\,\mbox{cm}^2;$

l’aire du triangle $PBC$ qui mesure

$\frac{6\times 2}{2}=6\,\mbox{cm}^2;$

em deux fois l’aire du triangle $CQD$ qui mesure

$\frac{CD\times QT}{2}=\frac{6\times 2}{2}=6\,\mbox{cm}^2.$

Ainsi l’aire du triangle $QPC$ mesure $36-(8+6+12)=10$ cm$^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Juin 2016, 2e défi

le 11 juin 2016 à 22:46, par AdoKraT

Avec les matrices on résout ce problème assez facilement.
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