Juin 2016, 2e défi

Le 10 juin 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 24 :

En commençant par $(a_0,b_0,c_0)=(1,2,3)$, nous formons $(a_1,b_1,c_1)=(a_0+b_0,b_0+c_0,c_0+a_0)$. Après, nous formons $(a_2, b_2, c_2)=(a_1+b_1,b_1+c_1,c_1+a_1)$ et ainsi de suite. Trouver la valeur de $n$ telle que $\dfrac{(a_n+b_n+c_n)}{(a_0+b_0+c_0)}$ soit entre $1000$ et $2000$.

Solution du 1er défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $10$ cm$^2$.

Observons tout d’abord que, puisque $AP:PB=2$ et que $AB=6$ cm, nous avons $AP=4$ cm et $PB=2$ cm. Traçons la droite $(ST)$ parallèle à $(AD)$ qui passe par le point $Q$.

Etant donné que le triangle $APQ$ est isocèle en $Q$, le point $S$ est le milieu du segment $[AP]$. De plus les triangles $AQD$ et $CQD$ sont superposables puisque leurs côtés sont égaux. Les angles $\widehat{ADQ}$ et $\widehat{CDQ}$ sont donc égaux et mesurent $45^\circ$. Le triangle $QTD$ est donc rectangle isocèle avec $QT=TD=2$ cm. L’aire du triangle $QPC$ est égale à l’aire du carré qui mesure $6\times 6=36$ cm$^2$ moins

l’aire du triangle $APQ$ qui mesure :

$\frac{AP\times SQ}{2}=\frac{4\times (6-2)}{2}=8\,\mbox{cm}^2;$

l’aire du triangle $PBC$ qui mesure

$\frac{6\times 2}{2}=6\,\mbox{cm}^2;$

em deux fois l’aire du triangle $CQD$ qui mesure

$\frac{CD\times QT}{2}=\frac{6\times 2}{2}=6\,\mbox{cm}^2.$

Ainsi l’aire du triangle $QPC$ mesure $36-(8+6+12)=10$ cm$^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Juin 2016, 2e défi

le 12 juin 2016 à 17:53, par Lina

Je n’ai pas vu en quoi les matrices permettaient de résoudre le problème, en tout cas elles permettent de donner les valeurs explicites de a(n) b(n) c(n).

Pour simplifier l’écriture je pose u(n)= [(1+3i)/2]^n+[(1-3i)/2]^n. C’est en fait une suite 6-cyclique qui vaut 2,1,-1,-2,-1,1,2 ...

a(n)=[(2^n+u(n))*a(0)+(2^n-u(n+1))*b(0)+(2^n-u(n-1))*c(0)]/3

b(n)=[(2^n-u(n-1))*a(0)+(2^n+u(n))*b(0)+(2^n+u(n-2))*c(0)]/3

c(n)=[(2^n-u(n+1))*a(0)+(2^n+u(n+2))*b(0)+(2^n+u(n))*c(0)]/3
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