Un défi par semaine

Juin 2017, 1er défi

Le 2 juin 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 22 :

Au fond d’un placard sombre, Nawel a un tiroir qui contient $6$ chaussettes noires, $14$ bleues et $8$ vertes. Quand elle prend une chaussette, elle n’en voit pas la couleur. Combien de chaussettes doit-elle sortir de son tiroir pour être sûre d’en avoir deux de la même couleur ?

Solution du 4e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $144$ façons.

La somme de tous les nombres vaut $1{+}2{+}3{+}\dots{+}7= \frac{7\times 8}2=28$. Soit $x$ le nombre au centre. La somme des autres nombres vaut donc $28-x$. Or on doit les assembler en trois paires de même somme, donc le nombre $28-x$ doit être divisible par $3$. Par conséquent $x$ vaut $1$, $4$ ou $7$. Voyons les différents cas :

  • Si $x=1$, alors la somme des nombres dans chaque triangle vaut $1+\frac{27}3=10$. Par conséquent le $2$ doit être apparié au $7$, le $3$ au $6$ et le $4$ au $5$.
    Pour placer le $2$ il y a $6$ possibilités. Une fois ce choix fait, la place du $7$ est fixée puisqu’il est dans le même triangle. Ensuite il reste $4$ possibilités pour le $3$, et ce choix force la place du $6$. Enfin il y a $2$ possibilités pour le $4$, et ce choix force la place du $5$.
    En tout cela fait $6\times 4\times 2=48$ façons pour ce cas.
  • Si $x=4$, alors la somme des nombres dans chaque triangle vaut $4+\frac{24}3=12$. Donc le $1$ doit être apparié au $7$, le $2$ au $6$ et le $3$ au $5$. Comme dans le cas précédent, il y a $48$ façons de placer ces nombres.
  • Si $x=7$, alors la somme des nombres dans chaque triangle vaut $7+\frac{21}3=14$. Donc le $1$ doit être apparié au $6$, le $2$ au $5$ et le $3$ au $4$. Comme dans les deux cas précédents, il y a $48$ façons de placer ces nombres.

En tout, il y a donc $3\times 48=144$ façons de placer les nombres.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2017, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ARTEMAVETISYAN/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Juin 2017, 1er défi

    le 2 juin à 15:32, par zahlen

    je pense qu’il faut prendre au minimum 4 chaussettes.

    Répondre à ce message
  • Juin 2017, 1er défi

    le 2 juin à 16:23, par Bernard Hanquez

    Il suffit de sortir quatre chaussettes (une de plus qu’il n’y a de couleurs).

    Répondre à ce message
  • Juin 2017, 1er défi

    le 3 juin à 13:45, par orion8

    Pour moi, mais je ne suis pas expert en chaussettes, c’est $nombre~maximum~dans~une~couleur~+ 1$, soit dans le cas présent : $15$.

    Répondre à ce message
    • Juin 2017, 1er défi

      le 3 juin à 18:52, par Daniate

      Il est vrai qu’il fut un temps où l’on vendait des chaussettes avec le gros orteil bien marqué qui rendent votre réponse correcte. Elle reste correcte avec des chaussettes bien sales où le gros orteil est aussi marqué mais je doute que Nawel soit si négligée. Si par contre c’était des gants qu’elle cherchait alors votre réponse devient parfaite.

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      • Juin 2017, 1er défi

        le 3 juin à 19:09, par orion8

        Oui, vous avez raison, vu comme ça, $4$ suffisent !

        Répondre à ce message

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