Un défi par semaine

Juin 2017, 2e défi

Le 9 juin 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (14)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 23 :

Mehdi a $5$ pièces. Côté pile est écrit le nombre $1$, et côté face les fractions $1/2$, $1/3$, $1/4$, $1/5$ et $1/6$ respectivement. Il y a $32$ façons de poser les pièces sur une table. Mehdi les réalise une par une et à chaque fois note le produit des nombres visibles. Quelle est la somme des $32$ nombres obtenus ?

Solution du 1er défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $4$ chaussettes.

Soit parmi les trois premières chaussettes tirées par Nawel, il y en a deux de la même couleur, soit elles sont des 3 couleurs possibles. Mais, dans ce cas, la quatrième est forcément d’une couleur déjà tirée. Donc Nawel a besoin de tirer 4 chaussettes pour en avoir deux de la même couleur.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ARTEMAVETISYAN/SHUTTERSTOCK

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  • Juin 2017, 2e défi

    le 9 juin 2017 à 08:36, par Al_louarn

    On remarque que l’ensemble des produits obtenus est l’ensemble des inverses des diviseurs de $6!$. Si l’on note $D_n$ la somme des diviseurs de $n!$ alors la somme totale est $S=\frac{D_6}{6!}$.

    Pour calculer $D_n$ on note d’abord que $D_1 = 1$. Ensuite pour tout $n>1$, tout diviseur de $n!$ est soit un diviseur de $(n-1)!$, soit le produit de $n$ par un diviseur de $(n-1)!$. Autrement dit $D_n = D_{n-1} + nD_{n-1} = (n+1)D_{n-1}$, ce qui amène à $D_n=\frac{(n+1)!}{2}$.

    Finalement $S=\frac{7!}{2 \times 6!} = \frac{7}{2}$.

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