Un défi par semaine

Juin 2017, 3e défi

Le 16 juin 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 24 :

Dans une contrée vivent des nains et des elfes. Les nains mentent seulement quand ils parlent d’or, et les elfes mentent seulement quand ils parlent d’un nain. Deux habitants, $A$ et $B$, discutent.
$A$ dit : «  J’ai volé tout mon or chez le dragon.  »
$B$ répond : «  Tu mens.  »
À quelles espèces $A$ et $B$ appartiennent-ils ?

Solution du 2e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $\frac{7}{2}$.

Sur les $32$ façons, on voit le côté pile avec un $1$ de la première pièce pour $16$ d’entre elles et le côté face avec un $\frac 1 2$ pour les $16$ autres façons.
En notant $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{16}$ les produits des nombres visibles dans le cas où on voit pile, les produits obtenus quand on voit face sont alors $\frac 1 2a_1, \frac 1 2a_2, \dots, \frac 1 2a_{16}$.
La somme des $32$ nombres vaut alors

$\frac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots +a_{16})+1(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16}) .$

Ensuite on fait le même raisonnement pour la seconde pièce : parmi les seize nombres $a_1, a_2, \dots, a_{16}$, huit correspondent au cas où la seconde pièce montre un $1$ et huit au cas où elle montre un $\frac 1 3$.
On peut supposer que le premier cas correspond aux nombres $a_1, a_2, \dots, a_8$, la somme vaut alors

$\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{8}).$

En continuant, on trouve que la somme vaut finalement

$\left (1+\frac{1}{2}\right ) \left (1+\frac{1}{3}\right ) \left(1+\frac{1}{4}\right )\left (1+\frac{1}{5}\right )\left(1+\frac{1}{6}\right )= \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times \frac{6}{5}\times \frac{7}{6}=\frac{7}{2}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ARTEMAVETISYAN/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Juin 2017, 3e défi

    le 16 juin à 13:57, par Celem Mene

    Si A était un nain, il mentirait puisqu’il s’agit d’or. Or, ni un nain, ni un elfe ne pourrait lui dire « tu mens », puisque ce serait la vérité (un nain mentirait en parlant d’or et un elfe puisqu’il s’agit d’un nain).

    A est donc un elfe qui dit la vérité et B est nain qui ment puisqu’il s’agit d’or.

    Répondre à ce message
    • Juin 2017, 3e défi

      le 16 juin à 20:40, par drai.david

      Pas du tout :
      1) Si A est un elfe, alors il dit la vérité (puisqu’il ne parle pas d’un nain).
      Si B est un nain, alors B dit la vérité en disant que A ment (puisqu’il ne parle pas d’or). Donc A ment.
      On aboutit donc à une contradiction.
      2) Si A et B sont des elfes, A dit la vérité (puisqu’il ne parle pas d’un nain) et B dit aussi la vérité en disant que A ment (puisqu’il ne parle pas d’un nain). Donc A ment et on aboutit à la même contradiction.
      3) Si A est un nain, alors A ment (puisqu’il parle d’or).
      a. Si B est un elfe, alors B ment en disant que A ment (puisqu’il parle d’un nain). Donc A dit la vérité : contradiction.
      b. Si B est un nain, alors B dit la vérité en disant que A ment (puisqu’il ne parle pas d’or).
      Donc A et B sont des nains.

      Cordialement.

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  • Juin 2017, 3e défi

    le 17 juin à 10:12, par ROUX

    A est un nain : il ment.
    C’est donc vrai qu’il ment donc B dit vrai et ne ment pas .
    Donc B ne peut pas être un elfe car il ment aux nains et B peut être un nain car les nains ne mentent que si ils parlent d’or (les nains disent vrai si ils ne parlent pas d’or), or, B parle d’un nain et pas d’or.
    Donc A=nain et B=nain vérifie les contraintes.
    A est un elfe : il dit vrai.
    Il dit vrai puisque les elfes ne mentent que si ils parlent de nains (les elfes disent vrai si ils ne parlent pas de nains) et là il parle d’or.
    C’est donc vrai qu’il dit vrai donc, B ment puisqu’il lui dit qu’il ment.
    Si B est un nain, comme il parle d’un elfe (il ne parle pas d’or) il devrait dire vrai ; or il ment, donc B n’est pas un nain.
    Si B est un elfe, comme il parle d’un elfe (il ne parle pas d’un nain) il devrait dire vrai ; or il ment, donc B n’est pas un nain.
    Aucun couple ne convient si A est un elfe.
    A=nain et B=nain.

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    • Juin 2017, 3e défi

      le 17 juin à 10:54, par Daniate

      Bonjour

      Comme souvent, une échappatoire est possible. En bonne logique dire qu’un nain ne ment seulement qu’en parlant d’ or signifie qu’il dit toujours la vérité quand il n’en parle pas mais qu’il peut ou non mentir quand il en parle. Idem pour l’elfe. Dans ce cas A reste un nain, mais B peut être elfe ou nain.

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  • Juin 2017, 3e défi

    le 17 juin à 18:38, par Celem Mene

    J’avais compris qu’en répondant à A, B parlait implicitement d’or. Sa déclaration signifiant : « Tu mens [en disant que tu as volé tout ton or chez le dragon] ».

    Le mensonge concerne l’or, et ma proposition tiens toujours.

    Répondre à ce message

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