Un défi par semaine

Juin 2017, 3e défi

Le 16 juin 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 24 :

Dans une contrée vivent des nains et des elfes. Les nains mentent seulement quand ils parlent d’or, et les elfes mentent seulement quand ils parlent d’un nain. Deux habitants, $A$ et $B$, discutent.
$A$ dit : «  J’ai volé tout mon or chez le dragon.  »
$B$ répond : «  Tu mens.  »
À quelles espèces $A$ et $B$ appartiennent-ils ?

Solution du 2e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $\frac{7}{2}$.

Sur les $32$ façons, on voit le côté pile avec un $1$ de la première pièce pour $16$ d’entre elles et le côté face avec un $\frac 1 2$ pour les $16$ autres façons.
En notant $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{16}$ les produits des nombres visibles dans le cas où on voit pile, les produits obtenus quand on voit face sont alors $\frac 1 2a_1, \frac 1 2a_2, \dots, \frac 1 2a_{16}$.
La somme des $32$ nombres vaut alors

$\frac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots +a_{16})+1(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16}) .$

Ensuite on fait le même raisonnement pour la seconde pièce : parmi les seize nombres $a_1, a_2, \dots, a_{16}$, huit correspondent au cas où la seconde pièce montre un $1$ et huit au cas où elle montre un $\frac 1 3$.
On peut supposer que le premier cas correspond aux nombres $a_1, a_2, \dots, a_8$, la somme vaut alors

$\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{8}).$

En continuant, on trouve que la somme vaut finalement

$\left (1+\frac{1}{2}\right ) \left (1+\frac{1}{3}\right ) \left(1+\frac{1}{4}\right )\left (1+\frac{1}{5}\right )\left(1+\frac{1}{6}\right )= \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times \frac{6}{5}\times \frac{7}{6}=\frac{7}{2}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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Image à la une - ARTEMAVETISYAN/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Juin 2017, 3e défi

    le 16 juin 2017 à 20:40, par drai.david

    Pas du tout :
    1) Si A est un elfe, alors il dit la vérité (puisqu’il ne parle pas d’un nain).
    Si B est un nain, alors B dit la vérité en disant que A ment (puisqu’il ne parle pas d’or). Donc A ment.
    On aboutit donc à une contradiction.
    2) Si A et B sont des elfes, A dit la vérité (puisqu’il ne parle pas d’un nain) et B dit aussi la vérité en disant que A ment (puisqu’il ne parle pas d’un nain). Donc A ment et on aboutit à la même contradiction.
    3) Si A est un nain, alors A ment (puisqu’il parle d’or).
    a. Si B est un elfe, alors B ment en disant que A ment (puisqu’il parle d’un nain). Donc A dit la vérité : contradiction.
    b. Si B est un nain, alors B dit la vérité en disant que A ment (puisqu’il ne parle pas d’or).
    Donc A et B sont des nains.

    Cordialement.

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