Un défi par semaine

Juin 2017, 3e défi

Le 16 juin 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 24 :

Dans une contrée vivent des nains et des elfes. Les nains mentent seulement quand ils parlent d’or, et les elfes mentent seulement quand ils parlent d’un nain. Deux habitants, $A$ et $B$, discutent.
$A$ dit : «  J’ai volé tout mon or chez le dragon.  »
$B$ répond : «  Tu mens.  »
À quelles espèces $A$ et $B$ appartiennent-ils ?

Solution du 2e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $\frac{7}{2}$.

Sur les $32$ façons, on voit le côté pile avec un $1$ de la première pièce pour $16$ d’entre elles et le côté face avec un $\frac 1 2$ pour les $16$ autres façons.
En notant $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{16}$ les produits des nombres visibles dans le cas où on voit pile, les produits obtenus quand on voit face sont alors $\frac 1 2a_1, \frac 1 2a_2, \dots, \frac 1 2a_{16}$.
La somme des $32$ nombres vaut alors

$\frac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots +a_{16})+1(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16}) .$

Ensuite on fait le même raisonnement pour la seconde pièce : parmi les seize nombres $a_1, a_2, \dots, a_{16}$, huit correspondent au cas où la seconde pièce montre un $1$ et huit au cas où elle montre un $\frac 1 3$.
On peut supposer que le premier cas correspond aux nombres $a_1, a_2, \dots, a_8$, la somme vaut alors

$\left(1+\frac{1}{2}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{16})=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)(a_1+a_2+\cdots +a_{8}).$

En continuant, on trouve que la somme vaut finalement

$\left (1+\frac{1}{2}\right ) \left (1+\frac{1}{3}\right ) \left(1+\frac{1}{4}\right )\left (1+\frac{1}{5}\right )\left(1+\frac{1}{6}\right )= \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{5}{4}\times \frac{6}{5}\times \frac{7}{6}=\frac{7}{2}.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2017, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ARTEMAVETISYAN/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Juin 2017, 3e défi

    le 17 juin 2017 à 10:54, par Daniate

    Bonjour

    Comme souvent, une échappatoire est possible. En bonne logique dire qu’un nain ne ment seulement qu’en parlant d’ or signifie qu’il dit toujours la vérité quand il n’en parle pas mais qu’il peut ou non mentir quand il en parle. Idem pour l’elfe. Dans ce cas A reste un nain, mais B peut être elfe ou nain.

    Répondre à ce message

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