Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Juin 2018, 1er défi

Le 1er juin 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (5)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 22

La valeur absolue du nombre $x$ se note $|x|$. Par exemple, $|5|=|-5|=5$.
Combien de nombres réels $x$ satisfont l’équation
$|||||x-1|-2|-3|-4|-5|=0?$

Solution du 4e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est :$1968$

La décomposition en facteurs premiers de $440$ est $2^3\cdot 5\cdot 11$, d’où $abc=2^3\cdot 5\cdot 11$.
Ainsi 11 divise $a$, $b$ ou $c$.
Supposons, sans perte de généralité, que 11 divise $a$.
Dans ce cas, on a $a=11k$, pour $k$ un certain nombre entier.

Si $|k|>1$, alors $a^2=(11k)^2\ge (11\cdot 2)^2 = 22^2 = 484 > 210$,
ce qui est impossible, vu que $a^2+b^2+c^2=210$. Donc $a=11$ ou $a=-11$.

En substituant la valeur de $a$ dans la première et troisième équation, on obtient $b^2+c^2=89$ et $|bc|=40=8\cdot 5$.
On observe que 5 divise $b$ ou $c$.
Supposons que ce soit $b$. On a alors $b=5q$, pour un certain entier $q$.

Si $|q|>1$, on a $b^2=(5q)^2\ge (5\cdot 2)^2 = 10^2 = 100 > 89 $, ce qui n’est pas possible vu que $b^2+c^2=89$, d’où $b=5$ ou $b=-5$.

Une fois de plus, en substituant la valeur $b$ dans la première équation, on obtient $c^2=64$, ce qui veut dire que $c$ est égal à 8 ou $-8$.

Comme la somme maximale des valeurs obtenues est 24 et qu’elle correspond aussi à la somme selon la deuxième équation, on conclut qu’aucune des valeurs de $a$, $b$ ou $c$ n’est négative. Donc les solutions possibles sont : $(5,8,11)$, $(5,11,8)$, $(8,5,11)$, $(8,11,5)$, $(11,5,8)$ et $(11,8,5)$, et dans les six cas, on a
\[ a^3+b^3+c^3=11^3+8^3+5^3=1968. \]

Solution alternative : On a \[(a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3)+3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)+6abc,\] et
\[ (a^2+b^2+c^2)(a+b+c) = (a^3+b^3+c^3) + (a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b).\]
En retranchant trois fois la seconde équation à la première, on obtient
\[(a+b+c)^3 - 3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) = -2(a^3+b^3+c^3)+6abc,\]
d’où
\[ \begin{eqnarray*} a^3+b^3+c^3 &=& (6abc -(a+b+c)^3 +3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c))/2\\ &=& (6\times440-24^3+3\times210\times24)/2\\ &=& 1968. \end{eqnarray*} \]

Commentaire sur l'article

Juin 2018, 1er défi

le 31 mai 2018 à 22:31, par Niak

Commençons par observer que l’équation $|X-a|=b$ avec $X\geq0$ et $0\leq a < b$ admet une unique solution $X=a+b$ (le cas $|X-a|=a-X$ menant à une contradiction évidente).
Posons $X_1 = |x-1|$, $X_2 = |X_1-2|$, $X_3 = |X_2-3|$. L’équation à résoudre est équivalente à $|X_3-4|=5$ qui, en appliquant l’observation précédente trois fois, donne successivement $X_3=9$, $X_2=12$, $X_1=14$. Finalement $x = -13$ ou $15$.
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Juin 2018, 1er défi

le 31 mai 2018 à 23:12, par drai.david

$x\in\left\{-13,15\right\}$.

Plus généralement : $\mid\mid\mid\mid\mid\mid x-1\mid -2\mid -3\mid -4\mid -5\mid ... -n\mid= 0 \Leftrightarrow x=1\pm\frac{(n-1)(n+2)}{2}$
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Juin 2018, 1er défi

le 1er juin 2018 à 11:51, par ROUX

|||||x−1|−2|−3|−4|−5|=0
Si je retire la première valeur absolue, j’obtiens ||||x−1|−2|−3|−4|−5=0 soit ||||x−1|−2|−3|−4|=5.
Si je retire la deuxième valeur absolue, j’obtiens |||x−1|−2|−3|−4=-5 ou |||x−1|−2|−3|−4=+5.
Quand je vais passer le -4 de l’autre côté, j’obtiens une impossibilité (-5+4=-1) pour la première et une possibilité pour la deuxième avec 9.
Ce 9 deviendra -9 ou +9 et -9 conduira à une impossibilité.
Et ainsi de suite.
Donc, à la fin de la fin, à la dernière disparition de la dernière valeur absolue, j’écrirai une équation du premier degré avec deux possibilités donc deux solutions.

2 est la réponse à la question.
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Juin 2018, 1er défi

le 1er juin 2018 à 15:40, par Lhooq

Ah oui car la question est « combien » pas « quel(s) ».

Bien joué ;-)
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Juin 2018, 1er défi

le 8 juin 2018 à 01:16, par LASSALLE Philippe

La démonstration de Niak est élégante.

(Mais il faut la conclure comme Roux, dire : il y a deux solutions.)

Elle permet aussi d’obtenir la généralisation de drai.david (je le dis intuitivement ..., il faudrait l’écrire ... :-) ).
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