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Un défi par semaine

Juin 2018, 1er défi

Le 1er juin 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 22

La valeur absolue du nombre $x$ se note $|x|$. Par exemple, $|5|=|-5|=5$.
Combien de nombres réels $x$ satisfont l’équation
$|||||x-1|-2|-3|-4|-5|=0?$

Solution du 4e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est :$1968$

La décomposition en facteurs premiers de $440$ est $2^3\cdot 5\cdot 11$, d’où $abc=2^3\cdot 5\cdot 11$.
Ainsi 11 divise $a$, $b$ ou $c$.
Supposons, sans perte de généralité, que 11 divise $a$.
Dans ce cas, on a $a=11k$, pour $k$ un certain nombre entier.

Si $|k|>1$, alors $a^2=(11k)^2\ge (11\cdot 2)^2 = 22^2 = 484 > 210$,
ce qui est impossible, vu que $a^2+b^2+c^2=210$. Donc $a=11$ ou $a=-11$.

En substituant la valeur de $a$ dans la première et troisième équation, on obtient $b^2+c^2=89$ et $|bc|=40=8\cdot 5$.
On observe que 5 divise $b$ ou $c$.
Supposons que ce soit $b$. On a alors $b=5q$, pour un certain entier $q$.

Si $|q|>1$, on a $b^2=(5q)^2\ge (5\cdot 2)^2 = 10^2 = 100 > 89 $, ce qui n’est pas possible vu que $b^2+c^2=89$, d’où $b=5$ ou $b=-5$.

Une fois de plus, en substituant la valeur $b$ dans la première équation, on obtient $c^2=64$, ce qui veut dire que $c$ est égal à 8 ou $-8$.

Comme la somme maximale des valeurs obtenues est 24 et qu’elle correspond aussi à la somme selon la deuxième équation, on conclut qu’aucune des valeurs de $a$, $b$ ou $c$ n’est négative. Donc les solutions possibles sont : $(5,8,11)$, $(5,11,8)$, $(8,5,11)$, $(8,11,5)$, $(11,5,8)$ et $(11,8,5)$, et dans les six cas, on a
\[ a^3+b^3+c^3=11^3+8^3+5^3=1968. \]

Solution alternative : On a \[(a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3)+3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)+6abc,\] et
\[ (a^2+b^2+c^2)(a+b+c) = (a^3+b^3+c^3) + (a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b).\]
En retranchant trois fois la seconde équation à la première, on obtient
\[(a+b+c)^3 - 3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) = -2(a^3+b^3+c^3)+6abc,\]
d’où
\[ \begin{eqnarray*} a^3+b^3+c^3 &=& (6abc -(a+b+c)^3 +3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c))/2\\ &=& (6\times440-24^3+3\times210\times24)/2\\ &=& 1968. \end{eqnarray*} \]

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Juin 2018, 1er défi

le 31 mai 2018 à 22:31, par Niak

Commençons par observer que l’équation $|X-a|=b$ avec $X\geq0$ et $0\leq a < b$ admet une unique solution $X=a+b$ (le cas $|X-a|=a-X$ menant à une contradiction évidente).
Posons $X_1 = |x-1|$, $X_2 = |X_1-2|$, $X_3 = |X_2-3|$. L’équation à résoudre est équivalente à $|X_3-4|=5$ qui, en appliquant l’observation précédente trois fois, donne successivement $X_3=9$, $X_2=12$, $X_1=14$. Finalement $x = -13$ ou $15$.
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Juin 2018, 1er défi

le 31 mai 2018 à 23:12, par drai.david

$x\in\left\{-13,15\right\}$.

Plus généralement : $\mid\mid\mid\mid\mid\mid x-1\mid -2\mid -3\mid -4\mid -5\mid ... -n\mid= 0 \Leftrightarrow x=1\pm\frac{(n-1)(n+2)}{2}$
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Juin 2018, 1er défi

le 1er juin 2018 à 11:51, par ROUX

|||||x−1|−2|−3|−4|−5|=0
Si je retire la première valeur absolue, j’obtiens ||||x−1|−2|−3|−4|−5=0 soit ||||x−1|−2|−3|−4|=5.
Si je retire la deuxième valeur absolue, j’obtiens |||x−1|−2|−3|−4=-5 ou |||x−1|−2|−3|−4=+5.
Quand je vais passer le -4 de l’autre côté, j’obtiens une impossibilité (-5+4=-1) pour la première et une possibilité pour la deuxième avec 9.
Ce 9 deviendra -9 ou +9 et -9 conduira à une impossibilité.
Et ainsi de suite.
Donc, à la fin de la fin, à la dernière disparition de la dernière valeur absolue, j’écrirai une équation du premier degré avec deux possibilités donc deux solutions.

2 est la réponse à la question.
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Juin 2018, 1er défi

le 1er juin 2018 à 15:40, par Lhooq

Ah oui car la question est « combien » pas « quel(s) ».

Bien joué ;-)
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Juin 2018, 1er défi

le 8 juin 2018 à 01:16, par LASSALLE Philippe

La démonstration de Niak est élégante.

(Mais il faut la conclure comme Roux, dire : il y a deux solutions.)

Elle permet aussi d’obtenir la généralisation de drai.david (je le dis intuitivement ..., il faudrait l’écrire ... :-) ).
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