Un défi par semaine

Juin 2018, 2e défi

Le 8 juin 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 23

Le triangle rectangle $ABC$ a une aire de $12\,cm^2$. Si $AN=NM=MC$, $XB=BM$ et $YB=BN$. Quelle est l’aire du quadrilatère $XYCA$ ?

Solution du 1er défi de Juin :

Enoncé

La réponse est :$2$ nombres.

Si $|||||x-1|-2|-3|-4|-5|=0$, alors
$||||x-1|-2|-3|-4|=5$.
Donc, $|||x-1|-2|-3|-4$ est égal à 5 ou
à $-5$, d’où $|||x-1|-2|-3|=4\pm 5$.
Comme le côté gauche de cette dernière égalité n’est jamais négatif, la seule possibilité est qu’on ait $|||x-1|-2|-3|=9$.
En appliquant ce raisonnement de nouveau, on obtient
\[\begin{eqnarray*} ||x-1|-2|& = & 12\\ |x-1| & = & 14\\ x & = & 1\pm 14, \end{eqnarray*}\]
ce qui implique que $x$ est égal à $-13$ ou à $15$. Par conséquent, il y a deux nombres réels qui satisfont l’équation.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2018, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Juin 2018, 2e défi

    le 9 juin à 23:10, par ROUX

    On trace la hauteur du triangle ABN qui passe par B et est perpendiculaire à (AC).
    Mais c’est aussi la hauteur des deux triangles BNM et BMC.
    Comme AN=NM=MC et sont les bases, ces trois triangles ont la même surface S.
    Le parallélépipède XYNA... Eh bien si on trace la hauteur du triangle ABN qui passe par A et est perpendiculaire à (BN), on voit (il faut dessiner la construction des rectangles pour la surface de ABN) que sa surface est quatre fois la surface de ABN.
    Donc XYNA a une surface égale à 4*S.
    Il reste la surface du triangle YBC.
    On trace sa hauteur qui passe par C et est perpendiculaire à (YB). On reprend le triangle BNM et cette fois-ci on trace sa hauteur qui passe par M et est perpendiculaire à (YB).
    Par d’habiles Thalèsseries, la hauteur du triangle YBC est le double de la hauteur du triangle BNC et comme ils ont la même base puisque YB=BN, la surface de YBC est égale à 2*S.
    La figure a donc une surface de 4*S (pour XYNA) + 2*S (pour YBC) + 2*S pour BNC soit un total de 8*S.
    Comme 3*S=12, S=4 et alors la surface cherchée est égale à 8*4=32.

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