Un défi par semaine

Juin 2018, 2e défi

El 8 junio 2018  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 23

Le triangle rectangle $ABC$ a une aire de $12\,cm^2$. Si $AN=NM=MC$, $XB=BM$ et $YB=BN$. Quelle est l’aire du quadrilatère $XYCA$?

Solution du 1er défi de Juin :

Enoncé

La réponse est :$2$ nombres.

Si $|||||x-1|-2|-3|-4|-5|=0$, alors
$||||x-1|-2|-3|-4|=5$.
Donc, $|||x-1|-2|-3|-4$ est égal à 5 ou
à $-5$, d’où $|||x-1|-2|-3|=4\pm 5$.
Comme le côté gauche de cette dernière égalité n’est jamais négatif, la seule possibilité est qu’on ait $|||x-1|-2|-3|=9$.
En appliquant ce raisonnement de nouveau, on obtient
\[\begin{eqnarray*} ||x-1|-2|& = & 12\\ |x-1| & = & 14\\ x & = & 1\pm 14, \end{eqnarray*}\]
ce qui implique que $x$ est égal à $-13$ ou à $15$. Par conséquent, il y a deux nombres réels qui satisfont l’équation.

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Juin 2018, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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  • Juin 2018, 2e défi

    le 9 de junio de 2018 à 23:10, par ROUX

    On trace la hauteur du triangle ABN qui passe par B et est perpendiculaire à (AC).
    Mais c’est aussi la hauteur des deux triangles BNM et BMC.
    Comme AN=NM=MC et sont les bases, ces trois triangles ont la même surface S.
    Le parallélépipède XYNA... Eh bien si on trace la hauteur du triangle ABN qui passe par A et est perpendiculaire à (BN), on voit (il faut dessiner la construction des rectangles pour la surface de ABN) que sa surface est quatre fois la surface de ABN.
    Donc XYNA a une surface égale à 4*S.
    Il reste la surface du triangle YBC.
    On trace sa hauteur qui passe par C et est perpendiculaire à (YB). On reprend le triangle BNM et cette fois-ci on trace sa hauteur qui passe par M et est perpendiculaire à (YB).
    Par d’habiles Thalèsseries, la hauteur du triangle YBC est le double de la hauteur du triangle BNC et comme ils ont la même base puisque YB=BN, la surface de YBC est égale à 2*S.
    La figure a donc une surface de 4*S (pour XYNA) + 2*S (pour YBC) + 2*S pour BNC soit un total de 8*S.
    Comme 3*S=12, S=4 et alors la surface cherchée est égale à 8*4=32.

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