Juin 2018, 3e défi

Le 15 juin 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (12)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 24

Combien existe-t-il de suites d’entiers positifs
consécutifs et de longueur au moins $2$, dont la somme est égale à $105$ ?

Solution du 2e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est :$32\,cm^2$

Observons que les triangles $BXY$ et $BMN$ sont
congruents car $XB=BM$, $YB=BN$ et les angles $\widehat{XBY}$ et $\widehat{MBN}$ sont égaux. Donc $\widehat{YXB} = \widehat{BMN}$.

Donc $XY$ est parallèle à $MN$, et comme $XY=MN=NA=CM$ les
quadrilatères $XYNA$ et $XYCM$ sont des parallélogrammes.

Appelons $x$ la longueur de $MC$ et $h$ la longueur de la hauteur du triangle $ABC$ sur l’hypoténuse $CA$. On sait que
$\frac{3xh}{2}=12\, cm^2$ est l’aire du triangle $ABC$. Soit $(YCA)$ l’aire du triangle $YCA$.
Comme $B$ est le milieu de $YN$, la hauteur du triangle $YCA$ sur
$CA$ mesure $2h$. Donc,
\[ (YCA)=\frac{3x\times 2h}{2}=3xh=24\, cm^2. \]
D’autre part, comme $XY=CM=x$ et $XY$ est parallèle à $CA$, on obtient que
\[ (XYA)=\frac{XY\times 2h}{2}=xh=\frac{24}{3}=8\, cm^2. \]
Par conséquent, l’aire de $XYCA$ est égale à $8+24=32\, cm^2$.

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Juin 2018, 3e défi

le 15 juin 2018 à 09:26, par ROUX

Combien de couples (n,k) tels que (n + (n+1) + (n+2) + ... + (n+k)) = 105 ?
Ou alors combien de (n,k) tels que (k+1)*n + k*(k+1)/2 = 105, soit (k+1)*[2*n + k] = 210 ?
210=2*3*5*7.
La réponse ne serait-elle pas alors le nombre de manière d’assembler ces quatre chiffres de manière à avoir la multiplication de deux nombres ?
Par exemple, prenons 2*105.
Disons que k+1=2 alors k=1 et 2*n+1=105 alors n=52.
On a la suite 52+53=105.
Et si on avait pris k+1=105, alors k=104 et 2*n...
Ah...
Il faudra que k+1 soit pair pour que k soit impair de manière à ce que 105-k soit pair pour que n existe.
Donc il n’y aura toujours qu’une solution par assemblage des quatre chiffres, le pair étant toujours pris égal à k+1.
Prenons 14*15.
k+1=14 donc k=13 donc 2*n=15-13=2 donc n=1.
On a alors la suite 1+2+3+...14=105 mais, oups, j’ai failli avoir un n négatif.
Il faudra que k+1 pair soit supérieur à 2*n+k impair.
Donc, les (k+1)*(2*n+k) qui conviendront sont : 2*105 ; 6*35 ; 10* 21 ; 14*15 et je n’en vois pas d’autre (et, là, j’ai peur ;-) !)...
4 suites d’entiers consécutifs.
Et alors pour la route les deux que je n’ai pas encore tâtonnées...
15+16+...+20=105
6+7+...+15=105
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