Un défi par semaine

Juin 2018, 3e défi

Le 15 juin 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 24

Combien existe-t-il de suites d’entiers positifs
consécutifs et de longueur au moins $2$, dont la somme est égale à $105$ ?

Solution du 2e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est :$32\,cm^2$

Observons que les triangles $BXY$ et $BMN$ sont
congruents car $XB=BM$, $YB=BN$ et les angles $\widehat{XBY}$ et $\widehat{MBN}$ sont égaux. Donc $\widehat{YXB} = \widehat{BMN}$.

Donc $XY$ est parallèle à $MN$, et comme $XY=MN=NA=CM$ les
quadrilatères $XYNA$ et $XYCM$ sont des parallélogrammes.

Appelons $x$ la longueur de $MC$ et $h$ la longueur de la hauteur du triangle $ABC$ sur l’hypoténuse $CA$. On sait que
$\frac{3xh}{2}=12\, cm^2$ est l’aire du triangle $ABC$. Soit $(YCA)$ l’aire du triangle $YCA$.
Comme $B$ est le milieu de $YN$, la hauteur du triangle $YCA$ sur
$CA$ mesure $2h$. Donc,
\[ (YCA)=\frac{3x\times 2h}{2}=3xh=24\, cm^2. \]
D’autre part, comme $XY=CM=x$ et $XY$ est parallèle à $CA$, on obtient que
\[ (XYA)=\frac{XY\times 2h}{2}=xh=\frac{24}{3}=8\, cm^2. \]
Par conséquent, l’aire de $XYCA$ est égale à $8+24=32\, cm^2$.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Juin 2018, 3e défi

    le 15 juin 2018 à 12:48, par Niak

    A priori vous avez oublié $n=14$. Il y a $7$ ou $8$ solutions selon que l’on considère $u_0>0$ ou $u_0\geq0$ : $(n,u_0)\in\{(2, 52), (3, 34), (5, 19), (6, 15), (7, 12), (10, 6), (14, 1), (15, 0)\}$, les suites pour $n=14$ et $n=15$ sont identiques au $0$ initial près.

    Répondre à ce message

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