Un défi par semaine

Juin 2018, 3e défi

Le 15 juin 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 24

Combien existe-t-il de suites d’entiers positifs
consécutifs et de longueur au moins $2$, dont la somme est égale à $105$ ?

Solution du 2e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est :$32\,cm^2$

Observons que les triangles $BXY$ et $BMN$ sont
congruents car $XB=BM$, $YB=BN$ et les angles $\widehat{XBY}$ et $\widehat{MBN}$ sont égaux. Donc $\widehat{YXB} = \widehat{BMN}$.

Donc $XY$ est parallèle à $MN$, et comme $XY=MN=NA=CM$ les
quadrilatères $XYNA$ et $XYCM$ sont des parallélogrammes.

Appelons $x$ la longueur de $MC$ et $h$ la longueur de la hauteur du triangle $ABC$ sur l’hypoténuse $CA$. On sait que
$\frac{3xh}{2}=12\, cm^2$ est l’aire du triangle $ABC$. Soit $(YCA)$ l’aire du triangle $YCA$.
Comme $B$ est le milieu de $YN$, la hauteur du triangle $YCA$ sur
$CA$ mesure $2h$. Donc,
\[ (YCA)=\frac{3x\times 2h}{2}=3xh=24\, cm^2. \]
D’autre part, comme $XY=CM=x$ et $XY$ est parallèle à $CA$, on obtient que
\[ (XYA)=\frac{XY\times 2h}{2}=xh=\frac{24}{3}=8\, cm^2. \]
Par conséquent, l’aire de $XYCA$ est égale à $8+24=32\, cm^2$.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Juin 2018, 3e défi

    le 15 juin 2018 à 23:54, par richecoeur

    La suite de plus haut rang qui vérifie le résultat est u1 (52,53). Elle est de longueur lmin=2
    Une suite qui commencerait par 1 vérifie t elle le résultat : résolvons (n(n+1))/2=105 -> 14 solution.
    Donc la suite u2= (1,2,...,13,14) fonctionne et lmax=14.
    Si on généralise, il faut chercher les u0 (premier terme de la suite arithmétique de raison 1) tel que somme(k,u0,u01)=105 ou l représente la longueur de la suite.
    Il s’agit de trouver les u0 entiers tels u0*l +(l*(l-1))/2=105 avec l = (3,4,...,12,13).
    Exemple pour l=3 : u0=34 d’où u3= (34,35,36)
    pour l=4 : u0=99/4 marche pas
    pour l=5 : u0=19 d’où u4= (19,20,21,22,23)
    pour l=6 :u0= 15 d’où u5=(15,16,17,18,19,20)
    pour l=7 :u0=12 d’où u6=(12,13,14,15,16,17,18)
    pour l=8 :u0=77/8 marche pas
    pour l=9 :u0=69/9 marche pas
    pour l=10 : u0=6 d’où u7=(6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)
    pour l=11:u0= 50/11pour l=12 u0=29/12 et l=13 u0=27/13 marchent pas.
    Conclusion : il y a 7 suites un exhibées ci-dessus qui vérifient les hypothèses du pb.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?