Un défi par semaine
Juin 2018, 3e défi
El 15 junio 2018 Ver los comentarios (12)Leer el artículo en
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !
Semaine 24
Combien existe-t-il de suites d’entiers positifs
consécutifs et de longueur au moins $2$, dont la somme est égale à $105$?
Solution du 2e défi de Juin :
La réponse est :$32\,cm^2$
Observons que les triangles $BXY$ et $BMN$ sont
congruents car $XB=BM$, $YB=BN$ et les angles $\widehat{XBY}$ et $\widehat{MBN}$ sont égaux. Donc $\widehat{YXB} = \widehat{BMN}$.
Donc $XY$ est parallèle à $MN$, et comme $XY=MN=NA=CM$ les
quadrilatères $XYNA$ et $XYCM$ sont des parallélogrammes.
Appelons $x$ la longueur de $MC$ et $h$ la longueur de la hauteur du triangle $ABC$ sur l’hypoténuse $CA$. On sait que
$\frac{3xh}{2}=12\, cm^2$ est l’aire du triangle $ABC$. Soit $(YCA)$ l’aire du triangle $YCA$.
Comme $B$ est le milieu de $YN$, la hauteur du triangle $YCA$ sur
$CA$ mesure $2h$. Donc,
\[
(YCA)=\frac{3x\times 2h}{2}=3xh=24\, cm^2.
\]
D’autre part, comme $XY=CM=x$ et $XY$ est parallèle à $CA$, on obtient que
\[
(XYA)=\frac{XY\times 2h}{2}=xh=\frac{24}{3}=8\, cm^2.
\]
Par conséquent, l’aire de $XYCA$ est égale à $8+24=32\, cm^2$.
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Para citar este artículo:
Ana Rechtman — «Juin 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018
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Juin 2018, 3e défi
le 15 de junio de 2018 à 15:52, par ROUX