Juin 2018, 3e défi

Le 15 juin 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (12)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 24

Combien existe-t-il de suites d’entiers positifs
consécutifs et de longueur au moins $2$, dont la somme est égale à $105$ ?

Solution du 2e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est :$32\,cm^2$

Observons que les triangles $BXY$ et $BMN$ sont
congruents car $XB=BM$, $YB=BN$ et les angles $\widehat{XBY}$ et $\widehat{MBN}$ sont égaux. Donc $\widehat{YXB} = \widehat{BMN}$.

Donc $XY$ est parallèle à $MN$, et comme $XY=MN=NA=CM$ les
quadrilatères $XYNA$ et $XYCM$ sont des parallélogrammes.

Appelons $x$ la longueur de $MC$ et $h$ la longueur de la hauteur du triangle $ABC$ sur l’hypoténuse $CA$. On sait que
$\frac{3xh}{2}=12\, cm^2$ est l’aire du triangle $ABC$. Soit $(YCA)$ l’aire du triangle $YCA$.
Comme $B$ est le milieu de $YN$, la hauteur du triangle $YCA$ sur
$CA$ mesure $2h$. Donc,
\[ (YCA)=\frac{3x\times 2h}{2}=3xh=24\, cm^2. \]
D’autre part, comme $XY=CM=x$ et $XY$ est parallèle à $CA$, on obtient que
\[ (XYA)=\frac{XY\times 2h}{2}=xh=\frac{24}{3}=8\, cm^2. \]
Par conséquent, l’aire de $XYCA$ est égale à $8+24=32\, cm^2$.

Commentaire sur l'article

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Juin 2018, 3e défi

le 15 juin 2018 à 10:18, par Daniate

Votre condition de parité est superflue et vous empêche de trouver d’autres solutions : il y en a 7 possibles. Au boulot, camarade.
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