Un défi par semaine

Juin 2018, 4e défi

Le 22 juin 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 25

Dans ce village, les chevaliers disent toujours
la vérité, et les artisans mentent toujours. Jean interroge quatre
d’entre eux. Louis affirme que Paul est un artisan ;
Paul prétend être le seul chevalier parmi eux ;
Charles déclare que parmi Louis et Pierre il y a au moins un artisan ; Pierre soutient que tous les quatre sont des chevaliers.
Combien y a t-il de chevaliers ?

Solution du 3e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est : $7$ suites.

Observons que si la somme se fait sur un nombre impair de termes, comme par exemple
$105=34+35+36$, alors le terme qui est au centre correspond à la moyenne de tous les termes :
$\frac{34+35+36}{3}=\frac{105}{3}=35$. Cela veut dire que $105$
divisé par le nombre de termes de la suite est un
entier. On cherche donc maintenant les diviseurs positifs de 105. Comme la
décomposition en facteurs premiers de $105$ est $105=3\times 5\times 7$, les
diviseurs de 105 sont 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35 et 105 (tous impairs). On élimine le
1 puisque l’énoncé requiert que la suite ait au moins 2 termes. D’autre part, si on a 15
termes dans la somme, le terme qui est au centre est $\frac{105}{15}= 7$, donc
les nombres consécutifs qu’on doit additionner sont 0, 1, 2,$\ldots$, 14. Mais ces nombres ne sont pas tous positifs : on doit éliminer le cas où la somme a 15 termes. De même, on élimine les cas où la somme a 21, 35 ou
105 termes. Par conséquent, on peut avoir uniquement 3, 5 ou 7 termes
dans la somme.

D’autre part, si la somme se fait sur un nombre pair de termes, comme par exemple $52+53=105$, on voit que la moyenne de tous les termes est exactement entre les deux nombres centraux de la suite. Si la suite a $2n$ termes pour un $n$ entier, il faut donc que $\frac{105}{n}$ soit un nombre entier, c’est-à-dire que $n$ doit être un diviseur de $105$.
On peut donc avoir 2, 6, 10, 14, 30, 42, 70 ou 210 termes. Mais, comme on
veut considérer seulement des entiers positifs, on doit éliminer
toutes les suites de longueur au moins 14.

Par conséquent, il y a au total sept manières d’écrire 105 comme somme d’entiers
positifs consécutifs

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Juin 2018, 4e défi

    le 22 juin à 07:26, par Elrigo

    Pierre ne peut pas être un chevalier car les 4 affirmations sont incompatibles.
    Donc Pierre est artisan, ce qui valide l’affirmation de Charles.
    Alors Paul ment, et Louis dit la vérité : il y a par conséquent deux chevaliers.

    Répondre à ce message
  • Juin 2018, 4e défi

    le 22 juin à 08:52, par mong

    Sachant que deux au moins affirment des choses contraires (Louis et Paul par exemple), on sait que Pierre est un artisan.
    Donc Charles dit quelque chose de vrai : parmi Louis et Pierre au moins 1 est artisan : donc Charles est chevalier.
    Donc Paul ment, donc Louis est chevalier.
    Au total, Louis et Charles sont chevaliers

    Répondre à ce message
  • Juin 2018, 4e défi

    le 22 juin à 11:14, par ROUX

    1 Lo : « Pa=Art »
    2 Pa : « Pa=Unique Che »
    3 Ch : « Lo ou Pi=Art »
    4 Pi : « Tous=Ch »
    1 et 2 impliquent que un des deux ment donc un des deux est Art.
    Donc dans 4 Pi ment et est donc Art. Pi=Art.
    Donc dans 3 Ch ne ment pas. Ch=Che.
    Donc dans 2 Pa ment (puisque Ch=Autre Che). Pa=Art.
    Donc dans 1 Lo ne ment pas. Lo=Che.
    2 chevaliers.
    Actuellement, il me semble que ce sont les chevaliers (d’industrie et de politique) qui mentent et les artisans qui ne mentent pas...

    Répondre à ce message

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